1.8 Lösning 8b

"Bilens nyvärde" betyder \( x = 0 \):

\[ y \, = \, 225\,000\;e\,^{-k\,\cdot\,0} \, = \, 225\,000\;e\,^0 \, = \, 225\,000\cdot 1 \, = \, 225\,000 \]

\( 10 \% \) av bilens nyvärde \( = 225\,000 \cdot 0,10 = 22\,500 \).

"Tills bilens värde har sjunkit till \( 10 \% \) av nyvärdet" betyder att värdet \( y \) är \( 22\,500 \):

\[\begin{align} y \, = \, 225\,000\;e\,^{-k\,\cdot\,x} & \; = \; 22\,500 \quad & &\,| \; / \; 225\,000 \\ e\,^{-k\,\cdot\,x} & \; = \; {22\,500 \over 225\,000} \\ e\,^{-k\,\cdot\,x} & \; = \; 0,1 \quad & &\,| \; \ln\,(\;\;) \\ \ln\,(e\,^{-k\,\cdot\,x})& \; = \; \ln\,0,1 \quad & &\,: \;\text{Inversegenskapen av ln och e} \\ -k\,\cdot\,x & \; = \; \ln\,0,1 \quad & &\,| \; / \; (-k) \\ x & \; = \; {\ln\,0,1 \over -k} \\ x & \; = \; {-2.302\,585 \over -0,162\,186} \end{align}\]

Efter \( 10,49 \) minuter har smeten frusit och blivit glass, dvs efter \( 10 \) och \( 0,49 \) minuter.

Men \( 0,49 \) minuter \( = 0,49 \cdot 60 = 29,4 \) sekunder. Därför:

Efter \( 10 \) minuter och \( 30 \) sekunder har smeten frusit och blivit glass.