Diagnosprov 1 kap 1 Algebra & funktioner

Uppgift 1

a) Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är \( \, 3 \, \) och \( \, 6 \, \).

b) Utveckla faktorformen från a) till ett polynom som en summa av termer.

Uppgift 2

Faktorisera följande polynom: \( \qquad\qquad {x^{2}}\; - \; 7 \; x \, \; + \; \,12 \, \)

Kontrollera din lösning.

Uppgift 3

Följande uttryck är givet: \( \qquad P(x) \; = \; 4\;{x^{3}}\; - \;\,2\;{x^2}\,(2\;x + \; \,6)\;\, + \;\,7\;x\,\,(3\; + \;2\;x) \, \)

a) Utveckla \( \; P(x) \; \) till ett polynom. Ange polynomets koefficienter och grad.

b) Använd polynomet från a) för att beräkna \( \; P(-1) \).

c) Bestäm alla nollställen till polynomet från a).

d) Faktorisera polynomet \( \; P(x) \). Kontrollera din lösning.

Uppgift 4

Förenkla så långt som möjligt: \( \qquad\qquad \displaystyle {5\,x \over 16} \, + \, {x \over 2} \, - \, {3\,x \over 4} \)

Uppgift 5

Förenkla det rationella uttrycket: \( \qquad\qquad \displaystyle \frac{{2\;{x^2}\; - \;8\;x}}{{{x^2}\; - \;16}} \)

Uppgift 6

Lös ekvationen exakt: \( \qquad\qquad\qquad\quad {e^{\;\ln x}}\; = \; - 2x + 3 \)

Uppgift 7

Lös ekvationen: \( \qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad {e^{\;x}} = 17 \)

Ange svaret med tre decimaler.

Uppgift 8

Följande funktion är given: \( \qquad\qquad \displaystyle f(x) \, = \, {x^2 - 3x - 4 \over x - 3} \, \)

a) Rita grafen till \( \, f(x) \).

b) För vilka \( \, x \, \) är \( \, f(x) \, \) kontinuerlig och för vilka är den inte kontinuerlig?

c) Ange de förekommande diskontinuiteternas typ. Motivera dina svar.

Uppgift 9

Lös ekvationen algebraiskt: \( \qquad\qquad \left| {x + 1} \right|\;\, + \;\,2\,x\;\, = \,\;3 \)

Uppgift 10

Lös följande ekvation exakt: \( \qquad\qquad \ln x = 1 + \ln \,(x - 1) \)

Uppgift 11

Förenkla så långt som möjligt: \( \qquad\qquad \displaystyle {x \, - \, 1 \over 1\, - \,x} \; + \; {1\, + \,y \over y\, + \, 1} \)

Uppgift 12

Förenkla det rationella uttrycket: \( \qquad\qquad \displaystyle {{p\,z \, + \, 1} \over {p\,z \, + \, (p\,z)\,^2}} \)

Uppgift 13

Lös ut \( \, x \, \) från: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\frac{1}{2} - \frac{a}{x + 1} - 1 = 5 + \frac{1}{3} - \frac{b}{x + 1}} \)

Uppgift 14

På ett bankkonto har ett kapital på \( \, 100\,000 \, \) kr under \( \, 5 \, \) år vuxit till \( \, 190\,000\, \) kr.

a) Vilken räntesats per år hade kontot? Ange svaret med en decimal.

b) Vilken typ av ekvation blir det i a) och vilken operation löser ekvationen?

c) Använd räntesatsen från a) för att besvara frågan:

Hur länge tar det tills startkapitalet tredubblats?

Avrunda svaret till hela år och månader.

d) Vilken typ av ekvation blir det i c) och vilken operation löser ekvationen?

Uppgift 15

Bakterier i mjölk anses växa enligt modellen:

\[ \, y = 10 \cdot e{\,^{0,5\,x}} \]

där \( \, y \, \) är antalet bakterier och \( \, x \, \) tiden i timmar.

a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?

b) Hur många bakterier kommer det att finnas i mjölken efter \( \, 8 \, \) timmar?

c) Efter hur många timmar och minuter blir mjölken sur?

Mjölken anses vara sur när antalet bakterier har uppnått \( \, 1\,250 \).