3.2 Lösning 2b
Vi deriverar en gång:
- \[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
- \[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]
För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):
- \[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 18\,x \\ & & {6 \over 18} & = & x \\ & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 \end{array}\]
Därmed är det bevisat att \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten.
Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 0,3 \) till vänster och \( \, x = 0,4 \) till höger om extrempunkten:
- \[ f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 \]
- \[ f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 \]
Vi skriver in våra resultat i följande teckentabell:
| \(x\) | \(0,3\) | \(\displaystyle {1 \over 3}\) | \(0,4\) |
| \( f\,'(x) \) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( \,f(x) \) | ↗ | Max | ↘ |
Funktionen \( f(x)\, \) har ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \), därför att \( f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 5 \).
Dessutom är \( f(x)\, \) växande till vänster om och avtagande till höger om \( \displaystyle {1 \over 3} \) vilket ytterligare bekräftar att det föreligger ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \).
Därav följer att \( f(x) \, \) har ett maximum i \( \displaystyle x = {1 \over 3} \, \).
Efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund har Yulia nått sin högsta höjd.
