Beräkna följande uttryck på det enklast möjliga sättet och ange deras värde med 5 decimaler.

a) \( e\,^2 \cdot e\,^{0,5} \)

b) \( e\,^3 \over e\,^4 \)

c) \( \left(e\,^{\ln\,6}\right)^2 \)

d) \( -5\cdot\ln(e^{-2}) \)

e) \( e\,^{1 \over 3} - (e\,^2)^{1\over 3} \)

Beräkna följande funktioners värde för \( x = 2\, \). Ange svaret med 4 decimaler.

a) \( f(x) \; = \; e\,^{-2\,x} \)

b) \( f(x) \; = \; 3\,e\,^{0,1\,x} \)

c) \( f(x) \; = \; {1 \over 2}\,e\,^{1,5\,x} \)

d) \( f(x) \; = \; -4\,e\,^{x \over 3} \)

e) \( f(x) \; = \; {e\,^x + e\,^{-\,x} \over 2} \)

f) \( f(x) \; = \; {e\,^x - e\,^{-\,x} \over 2} \)

Skriv följande likheter i logaritmform genom att logaritmera båda leden och använda inversegenskapen av \( e \, \) och \( ln \, \):

a) \( e\,^0 = 1\, \)

b) \( e\,^x = 100\, \)

c) \( e\,^7 = x\, \)

Lös följande ekvationerna. Ange svaret med 6 decimaler:

a) \( e\,^x = 10\, \)

b) \( \ln\,x = 2 \)

c) \( 4\,e\,^{3\,x} = 145\, \)

d) \( \ln\,2\,x = \ln\,10 - \ln\,5 \)

a) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,x \; = \; 1 + \ln\,(x-1) \]

b) Lös följande ekvation med 4 decimalers noggrannhet:

\[ e\,^{x+1} \; = \; 4 \cdot e\,^{2\,x} \]

c) Lös följande ekvation exakt:

\[ \ln\,(x+1) + \ln\,(x-1) = \ln 3 - \ln 4 \]

Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen

\[ B \; = \; 50\cdot e\,^t \]

där B är antalet bakterier vid tiden och t är tiden i timmar.

Använd denna modell för att besvara följande frågor:

a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?

b) Hur många bakterier finns det i mjölken efter 8 timmar?

c) Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit 2000 då den anses blivit sur?

Temperaturen T i en glassmet sjunker enligt modellen

\[ T \; = \; 50\, e\,^{-0,034 \,t} - 35 \]

där t är tiden i minuter efter att smeten ställs i frysen.

a) Vilken temperatur hade smeten när den ställdes i frysen?

b) Hur lång tid tar det tills smeten frusit och blivit glass. Ange svaret i timmar och minuter.

Värdet av en företagsbil minskar enligt följande modell:

\[ y \; = \; 225\,000\;e\,^{-k\,x} \]

där y är värdet i kr, x bilens ålder i år och k en konstant.

a) Bestäm k med 6 decimalers noggrannhet så att värdet är 100 000 kr efter 5 år.

Använd resultatet från a) för att besvara följande frågor:

b) Hur länge tar det tills bilens värde har sjunkit till 10% av nyvärdet då den anses kunna avskrivas. Ange svaret i år och månader.