Skillnad mellan versioner av "1.6 Lösning 7"

Versionen från 30 mars 2011 kl. 00.14

Det andra belopp som sattes in \( = {3\over 5} \cdot 40\,000 = {3 \cdot 40\,000 \over 5} = 3 \cdot 8\,000 = 24\,000 \)

\[ x\, \] = Antal år

\[ y\, \] = Aktuellt belopp på kontot

Modellen:

\[ y = 40\,000 \cdot (1,08)^2 + (40\,000 + 24\,000) \cdot (1,08)^x \]

\[ y = 40\,000 \cdot (1,08)^2 + 64\,000 \cdot (1,08)^x \]

Ekvationen:

\[ 100\,000 = 40\,000 \cdot (1,08)^2 + 64\,000 \cdot (1,08)^x \]

Lösningen\[\begin{align} 40\,000 \cdot (1,08)^2 + 64\,000 \cdot (1,08)^x & = 100\,000 \\ 46\,656 + 64\,000 \cdot (1,08)^x & = 100\,000 & &\;| \; -\,46\,656 \\ 64\,000 \cdot (1,08)^x & = 53\,344 & &\;| \; /\,64\,000 \\ (1,08)\,^x & = 0,8335 \quad & &: \;\text{Skriv 1,08 och 0,8335 som 10-potenser} \\ (10^{\lg(1,08)})\,^x & = 10^{\lg 0,8335} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL} \\ 10^{x \cdot \lg(1,065)} & = 10^{\lg 2} \\ \end{align}\]

När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra:

\[\begin{align} x \cdot \lg(1,065) & = \lg 2 \\ x & = {\lg 2 \over \lg(1,065)} \\ x & = 11,00674 \end{align}\]

För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:

\[ 0,00674 \cdot 12 = 0,08087 \]

Detta blir avrundat 0 månader. Därför:

Startkapitalet kommer att fördubblas efter \( 11\, \) år (och 0 månader).