Skillnad mellan versioner av "Logaritmlagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Bevis av logaritmlagarna) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Bevis av logaritmlagarna) |
||
| Rad 32: | Rad 32: | ||
| − | Om vi inför beteckningarna <math> A = a^x\, </math> och <math> B = a^y\, </math> får vi | + | Om vi inför beteckningarna <math> A = a^x\, </math> och <math> B = a^y\, </math> får vi: |
| − | + | ||
| + | :::<math> \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen <math> a\, </math> gäller likheten ovan för vilken bas <math> a\, </math> som helst. Därav följer påståendet. | ||
---- | ---- | ||
Versionen från 15 mars 2011 kl. 10.32
| Teori | Övningar |
Logaritmlagarna
Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \), men här av praktiska skäl är vald till 10, \( A \) och \( B \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal:
Bevis av logaritmlagarna
Logaritmlag 1:
- \[ \log(A \cdot B) \; = \; \log A + \log B \]
Bevis:
Logaritmlagarna är potenslagarnas logaritmering. Därför skriver vi upp första potenslagen:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Och logaritmerar båda leden:
- \[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]
Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:
- \[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]
Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst. Därav följer påståendet.
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Rationell exponent):
- \[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]
Bevisidé:
Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
- \[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]
Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
- \[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).
Internetlänkar
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
