Skillnad mellan versioner av "Logaritmlagarna"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Logaritmlagarna) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 14: | Rad 14: | ||
[[Image: Logaritmlagarna.jpg]] | [[Image: Logaritmlagarna.jpg]] | ||
| + | |||
| + | == Bevis av logaritmlagarna == | ||
| + | |||
| + | '''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''': | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math> | ||
| + | |||
| + | '''Bevis''': | ||
| + | |||
| + | Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math> | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | '''Påstående (Nollte potens)''': | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^0 \; = \; 1 </math> | ||
| + | |||
| + | '''Bevis''': | ||
| + | |||
| + | Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math> | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | '''Påstående (Rationell exponent)''': | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math> | ||
| + | |||
| + | '''Bevisidé''': | ||
| + | |||
| + | Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math> | ||
| + | |||
| + | Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math> | ||
| + | |||
| + | Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>. | ||
== Internetlänkar == | == Internetlänkar == | ||
Versionen från 15 mars 2011 kl. 09.51
| Teori | Övningar |
Logaritmlagarna
Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \), men här av praktiska skäl är vald till 10, \( A \) och \( B \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal:
Bevis av logaritmlagarna
Påstående (Produkt av potenser med samma bas):
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
- \[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]
Påstående (Nollte potens):
- \[ a^0 \; = \; 1 \]
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
- \[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]
Påstående (Rationell exponent):
- \[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]
Bevisidé:
Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
- \[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]
Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
- \[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).
Internetlänkar
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
