Skillnad mellan versioner av "Exponentialfunktioner och logaritmer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(→‎Exponentialfunktioner & exponentialekvationer)
(→‎Logaritmbegreppet)
Rad 17: Rad 17:
 
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
 
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
  
−
[[Image: Potenslagarna_70a.jpg]] [[Image: Potens_Ex_60.jpg]]
+
[[Image: Logaritmer.jpg]]
−
 
+
−
'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
+
−
 
+
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
+
−
 
+
−
'''Bevis''':
+
−
 
+
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
−
 
+
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
+
−
 
+
−
----
+
−
 
+
−
'''Påstående (Nollte potens)''':
+
−
 
+
−
:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
+
−
 
+
−
'''Bevis''':
+
−
 
+
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
+
−
 
+
−
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
+
−
 
+
−
----
+
−
 
+
−
'''Påstående (Rationell exponent)''':
+
−
 
+
−
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
+
−
 
+
−
'''Bevisidé''':
+
−
 
+
−
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+
−
 
+
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
+
−
 
+
−
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
+
−
 
+
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
+
−
 
+
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
+
  
 
== Blandade exempel ==
 
== Blandade exempel ==

Versionen från 12 mars 2011 kl. 15.34

       Teori          Övningar      


Lektion 10 Logaritmer

Exponentialfunktioner & exponentialekvationer

Fil:Exponentialfunktioner.jpg

Logaritmbegreppet

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:

Fil:Logaritmer.jpg

Blandade exempel

Fil:Potens Ex 1.jpg

Fil:Potens Ex 2.jpg

Fil:Potens Ex 3.jpg

Internetlänkar

http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar


Copyright © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=Exponentialfunktioner_och_logaritmer&oldid=3115"