Skillnad mellan versioner av "3.3 Lösning 6a"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 19: | Rad 19: | ||
:Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan: | :Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i andraderivatan: | ||
| − | ::<math> f''(0) \, = \, | + | ::<math> f''(0) \, = \, -12\cdot 0^2 - 24\cdot 0 = 0 </math> |
:Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i tredjederivatan: | :Vi sätter in <math> x_1 = 0 \, </math> i tredjederivatan: | ||
| − | ::<math> f'''(0) \, = \, | + | ::<math> f'''(0) \, = \, -24\cdot 0 - 24 = 0 - 24 = - 24 \, \neq 0 </math> |
:Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkter med högre derivator</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | :Enligt [[3.3_Terasspunkter#Regler_om_terasspunkter_med_h.C3.B6gre_derivator|<strong><span style="color:blue">regeln om terasspunkter med högre derivator</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
::<math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} </math> | ::<math> \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} </math> | ||
| − | : | + | <b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = -3 </math> |
| − | : | + | :Vi sätter in <math> x_2 = -3 \, </math> i andraderivatan: |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ::<math> f''(-1) \, = \, -12\cdot (-1)^2 - 24\cdot (-1) = -12\cdot 1 + 24 = -12 + 24 = 12 \, > \, 0 </math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | ::<math> f''(-1) \, = \, | + | |
:Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | :Enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | ||
Versionen från 10 januari 2015 kl. 14.43
\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & - x^4 - 4\,x^3 \\ f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2 \\ f''(x) & = & -12\,x^2 - 24\,x \\ f'''(x) & = & -24\,x - 24 \end{array}\]
Derivatans nollställen:
\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2 & = & 0 \\ & & -4\,x^2\,(x + 3) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & x_2 & = & -3 \end{array}\]
Derivatan har två nollställen, ett i \( x_1 = 0 \) och ett i \( x_2 = -3 \).
Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 0 \)
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(0) \, = \, -12\cdot 0^2 - 24\cdot 0 = 0 \]
- Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i tredjederivatan:
- \[ f'''(0) \, = \, -24\cdot 0 - 24 = 0 - 24 = - 24 \, \neq 0 \]
- \[ \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} \]
Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = -3 \)
- Vi sätter in \( x_2 = -3 \, \) i andraderivatan:
- \[ f''(-1) \, = \, -12\cdot (-1)^2 - 24\cdot (-1) = -12\cdot 1 + 24 = -12 + 24 = 12 \, > \, 0 \]
- \[ \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;minimipunkt.} \]
- Minimipunktens \( \, y\)-koordinat:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f(-1) & = & 3\cdot (-1)^4 + 4\cdot (-1)^3 \, = \, 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) \, = \, 3 - 4 \, = \, -1 \end{array}\]
- Minimipunktens koordinater: \( (-1, -1) \)
\( f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; (0, 0) \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; (-1, -1) \;\; {\rm en\;minimipunkt.} \)
