Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 11b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 23: | Rad 23: | ||
:<math> A\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b \over 2}\right)^2 + \,a\cdot\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b^2 \over 4}\right) + \,{a\cdot b \over 2} = </math> | :<math> A\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b \over 2}\right)^2 + \,a\cdot\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b^2 \over 4}\right) + \,{a\cdot b \over 2} = </math> | ||
| − | :<math> | + | :<math> = -\,{a \cdot b^2 \over b \cdot 4} + \,{a\cdot b \over 2} = -\,{a \, b \over 4} + \,{a\, b \over 2} = -\,{a \, b \over 4} + \,{2\cdot a\, b \over 4} = {a \, b \over 4} </math> |
Nuvarande version från 27 december 2014 kl. 10.52
- \[ A(x) \, = \, -\,{a \over b}\,x^2 \, + \, a\,x \]
- \[ A'(x) \, = \, -\,{2\,a \over b}\,x \, + \, a \]
- \[ A''(x) \, = \, -\,{2\,a \over b} \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{2\,a \over b}\,x + a & = & 0 \\ & & a & = & {2\,a \over b}\,x \\ & & {a \cdot b \over 2\,a} & = & x \\ & & x & = & {b \over 2} \end{array}\]
Andraderivatans tecken för \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \):
- \[ A''\left({b \over 2}\right) = -\,{2\,a \over b} \,<\, 0 \qquad {\rm p.g.a.} \qquad a > 0 \quad {\rm och} \quad b > 0 \]
Andraderivatan är negativ för \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \). Därav följer att \( A(x) \, \) har ett maximum i \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \).
Rektangeln får största arean för \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \):
\[ A\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b \over 2}\right)^2 + \,a\cdot\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b^2 \over 4}\right) + \,{a\cdot b \over 2} = \]
\[ = -\,{a \cdot b^2 \over b \cdot 4} + \,{a\cdot b \over 2} = -\,{a \, b \over 4} + \,{a\, b \over 2} = -\,{a \, b \over 4} + \,{2\cdot a\, b \over 4} = {a \, b \over 4} \]
