Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 2b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math> | ::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math> | ||
| − | För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till <math> \, 0 </math> och beräknar den tidpunkt <math> x \, </math> då derivatan blir <math> \, 0 </math>: | + | För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till <math> \, 0 </math> och beräknar den tidpunkt <math> x \, </math> då derivatan blir <math> \, 0 </math>. I [[3.2_Lösning_1a|övning 1a]] hade vi fått fram: |
::<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ | ::<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ | ||
| − | |||
| − | |||
& & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 | & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | För att avgöra om extrempunkten <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten. | |
| − | Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = 0,3 </math> till vänster och <math> \, x = 0,4 </math> till höger om extrempunkten: | + | Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = 0,3 </math> till vänster och <math> \, x = 0,4 </math> till höger om extrempunkten och sätter in dem i deriuvatan: |
::<math> f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 </math> | ::<math> f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 </math> | ||
| Rad 20: | Rad 18: | ||
::<math> f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 </math> | ::<math> f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 </math> | ||
| − | Vi skriver in | + | Vi skriver in dessa resultat i en teckentabell: |
<table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;"> | <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;"> | ||
| Rad 43: | Rad 41: | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | Eftersom <math> f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 </math> och derivatan byter tecken från <math>+</math> till <math> - </math> kring <math> \displaystyle {1 \over 3} </math> har funktionen <math> f(x)\, </math> ett maximum i <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} </math>. | |
| − | + | Ett annat sätt att uttrycka det är: Funktionen <math> f(x)\, </math> är växande till vänster om och avtagande till höger om <math> \displaystyle {1 \over 3} </math>. Därför föreligger ett maximum i <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} </math>. Dvs: | |
| − | + | Yulia når sin högsta höjd efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund. | |
Versionen från 8 december 2014 kl. 20.38
Vi deriverar en gång:
- \[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
- \[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]
För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \). I övning 1a hade vi fått fram:
- \[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 \end{array}\]
För att avgöra om extrempunkten \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten.
Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 0,3 \) till vänster och \( \, x = 0,4 \) till höger om extrempunkten och sätter in dem i deriuvatan:
- \[ f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 \]
- \[ f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 \]
Vi skriver in dessa resultat i en teckentabell:
| \(x\) | \(0,3\) | \(\displaystyle {1 \over 3}\) | \(0,4\) |
| \( f\,'(x) \) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( \,f(x) \) | ↗ | Max | ↘ |
Eftersom \( f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \displaystyle {1 \over 3} \) har funktionen \( f(x)\, \) ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \).
Ett annat sätt att uttrycka det är: Funktionen \( f(x)\, \) är växande till vänster om och avtagande till höger om \( \displaystyle {1 \over 3} \). Därför föreligger ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \). Dvs:
Yulia når sin högsta höjd efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund.
