Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 2b"
Taifun (Diskussion | bidrag) (Skapade sidan med 'Vi deriverar en gång: ::<math> f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math> ::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math> För att få reda på derivatans nollställe sätter vi...') |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
& & 6 & = & 18\,x \\ | & & 6 & = & 18\,x \\ | ||
& & {6 \over 18} & = & x \\ | & & {6 \over 18} & = & x \\ | ||
| − | & & x & = & {1 \over 3} | + | & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
Därmed är det bevisat att <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi extrempunktens närmaste omgivning: | Därmed är det bevisat att <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi extrempunktens närmaste omgivning: | ||
| + | Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = 0,3 </math> och <math> \, x = 0,4 </math>: | ||
| + | ::<math> f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 </math> | ||
| + | |||
| + | Vi skriver in våra resultat i följande teckentabell: | ||
| + | |||
| + | <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td><math>x</math></td> | ||
| + | <td><math>4,9</math></td> | ||
| + | <td><math>5</math></td> | ||
| + | <td><math>5,1</math></td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td><math> f\,'(x) </math></td> | ||
| + | <td><math>-</math></td> | ||
| + | <td><math>0</math></td> | ||
| + | <td><math>+</math></td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td><math> \,f(x) </math></td> | ||
| + | <td> <strong><big><big>↘</big></big></strong> </td> | ||
| + | <td> <strong><span style="color:red">Min</span></strong> </td> | ||
| + | <td> <strong><big><big>↗</big></big></strong> </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | Funktionen <math> f(x)\, </math> har ett <strong><span style="color:red">minimum</span></strong> i <math> \, x = 5 </math>, därför att <math> f\,'(5) = 0 </math> och derivatan byter tecken från <math>-</math> till <math> + </math> kring <math> \, 5 </math>. | ||
| + | |||
| + | Dessutom är <math> f(x)\, </math> avtagande till vänster om och växande till höger om <math> \, 5 </math> vilket åskådliggör att det föreligger ett minimum i <math> \, x = 5 </math>. | ||
Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> \displaystyle x = {1 \over 3} \, </math>. | Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> \displaystyle x = {1 \over 3} \, </math>. | ||
Efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund har Yulia nått sin högsta höjd. | Efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund har Yulia nått sin högsta höjd. | ||
Versionen från 8 december 2014 kl. 20.12
Vi deriverar en gång:
- \[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
- \[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]
För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):
- \[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 18\,x \\ & & {6 \over 18} & = & x \\ & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 \end{array}\]
Därmed är det bevisat att \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi extrempunktens närmaste omgivning:
Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 0,3 \) och \( \, x = 0,4 \):
- \[ f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 \]
- \[ f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 \]
Vi skriver in våra resultat i följande teckentabell:
| \(x\) | \(4,9\) | \(5\) | \(5,1\) |
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \( \,f(x) \) | ↘ | Min | ↗ |
Funktionen \( f(x)\, \) har ett minimum i \( \, x = 5 \), därför att \( f\,'(5) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 5 \).
Dessutom är \( f(x)\, \) avtagande till vänster om och växande till höger om \( \, 5 \) vilket åskådliggör att det föreligger ett minimum i \( \, x = 5 \).
Därav följer att \( f(x) \, \) har ett maximum i \( \displaystyle x = {1 \over 3} \, \).
Efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund har Yulia nått sin högsta höjd.
