Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 4b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
har två nollställen <math> \, x_1 = 1 \, </math> och <math> \, x_2 = 5 \, </math>. | har två nollställen <math> \, x_1 = 1 \, </math> och <math> \, x_2 = 5 \, </math>. | ||
| − | + | Teckenstudium kring: | |
| + | |||
| + | * <b>nollstället 1:</b> <math> \, x_1 = 1 \, </math>: | ||
::<math> f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 </math> | ::<math> f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 </math> | ||
| Rad 11: | Rad 13: | ||
::<math> f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math> | ::<math> f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math> | ||
| − | * | + | * <b>nollstället 2:</b> <math> \, x_2 = 5 \, </math>: |
::<math> f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math> | ::<math> f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math> | ||
Versionen från 2 december 2014 kl. 13.10
Från a) vet vi att derivatan
\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]
har två nollställen \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \).
Teckenstudium kring:
- nollstället 1: \( \, x_1 = 1 \, \):
- \[ f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- nollstället 2: \( \, x_2 = 5 \, \):
- \[ f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- \[ f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
Vi inför resultaten i en teckentabell:
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ |
Slutsats:
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 1 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( {\color{White} x} 1 < x < 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
