Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 4b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
Teckenstudium kring nollstället <math> \, x_2 = 5 \, </math>: | Teckenstudium kring nollstället <math> \, x_2 = 5 \, </math>: | ||
| − | :<math> f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, | + | :<math> f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math> |
:<math> f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -11 + 10 \,=\, -1 \,<\, 0 </math> | :<math> f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -11 + 10 \,=\, -1 \,<\, 0 </math> | ||
Versionen från 1 december 2014 kl. 16.28
Från a) vet vi att derivatan
\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]
har två nollställen \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \).
Teckenstudium kring nollstället \( \, x_1 = 1 \, \):
\[ f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
\[ f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
Teckenstudium kring nollstället \( \, x_2 = 5 \, \):
\[ f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
\[ f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -11 + 10 \,=\, -1 \,<\, 0 \]
Vi inför resultaten i en teckentabell:
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ |
b) För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 2 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( {\color{White} x} 2 < x < 4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
