Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:

\( x\, \)	\( f(x)\, \)
\( 0,5\, \)	\( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \)	\( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \)	\( 2,32751\, \)

Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:

a)    framåtdifferenskvoten

b)    bakåtdifferenskvoten

c)    centrala differenskvoten

Ange svaren avrundade till 4 decimaler.

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.

Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) med framåtdifferenskvoten och steglängden

a) \( h = 0,1\, \)

b) \( h = 0,01\, \)

c) \( h = 0,001\, \)

I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.

Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).

Ett närmevärdes fel definieras som:

Felet \( \, = \, \) exakta värdet \( \, - \, \) närmevärdet

a)    Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).

Approximera \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och

b)    bakåtdifferenskvoten samt ange felet,

c)    centrala differenskvoten samt ange felet.

d)    Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot approximerar \( f\,'(1,8) \) bäst?

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 enligt följande tabell:

År	Folkmängd i tusental
\( 1900\, \)	\( 5\,130 \)
\( 1910\, \)	\( 5\,406 \)
\( 1920\, \)	\( 5\,832 \)
\( 1930\, \)	\( 6\,298 \)
\( 1940\, \)	\( 6\,645 \)
\( 1950\, \)	\( 7\,016 \)
\( 1960\, \)	\( 7\,495 \)
\( 1970\, \)	\( 8\,126 \)
\( 1980\, \)	\( 8\,217 \)
\( 1990\, \)	\( 8\,654 \)
\( 2000\, \)	\( 8\,983 \)

Tabellen ovan definierar en funktion

\[ y \, = \, f(x) \]

där

\[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]

\[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]

Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år

a) \( 1900\, \)

b) \( 1950\, \)

c) \( 2000\, \)

Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot och steglängd.

Tolka resultatet.

d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under de senaste 100 åren dvs i tidsintervallet 1900-2000 (hela tabellen).

Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?

Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen

\[ y \, = \, f(x) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-x}} \]

där

\[ x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]

\[ y \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]

a)    Kan \( f(x)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

b)    Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.

Följande utdrag ur Skatteverkets skattetabell för 2014 (Kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:

\( x\, \)	\( y\, \)
\( 22\,801-23\,000 \)	\( 5\,302 \)
\( 23\,001-23\,200 \)	\( 5\,365 \)
\( 23\,201-23\,400 \)	\( 5\,427 \)
\( 23\,401-23\,600 \)	\( 5\,490 \)
\( 23\,601-23\,800 \)	\( 5\,553 \)
\( 23\,801-24\,000 \)	\( 5\,616 \)
\( 24\,001-24\,200 \)	\( 5\,681 \)
\( 24\,201-24\,400 \)	\( 5\,744 \)
\( 24\,401-24\,600 \)	\( 5\,807 \)
\( 24\,601-24\,800 \)	\( 5\,870 \)

där \( {\color{White} x} \quad \!\! x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \)

\[ y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \]

Åsa får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från \( 23\,150 \) kr till \( 24\,700 \).

a)    Bestäm \( \Delta x\, \) för Åsa.

b)    Bestäm \( \Delta y\, \) för Åsa.

c)    Beräkna \( \Delta y \over \Delta x \) för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön - det som kallas marginalskatt.

Ange Åsas marginalskatt i procent. Avrunda svaret till en decimal.

Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen

\[ y \, = \, x^2 \]

i intervallet

\[ a \,\leq\, x \,\leq\, a+h \]

Förenkla uttrycket i \( a\, \) och \( h\, \) så långt som möjligt.

Följande polynomfunktion är given:

\[ y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \]

a) Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan \( x\, \) och \( x + h\, \). Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

b) Låt i uttrycket från a) gå \( h\, \) mot 0 så att du får ett uttryck endast i \( x\, \).

c) Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för \( x = 2\, \). Tolka ditt resultat.

d) Ställ upp ekvationen till tangenten till kurvan \( y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 \) i punkten \( x = 2\, \).