Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( {\color{White} x} y = -8\, \)

b) \( {\color{White} x} y = 12\,x + 7 \)

c) \( {\color{White} x} y = 4\,x^2 - 25\,x + 32 \)

d) \( {\color{White} x} y = x\, \)

e) \( {\color{White} x} y = - x\, \)

f) \( {\color{White} x} y = x + 6\, \)

g) \( {\color{White} x} y = - x + 25\, \)

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {x \over 2} \)

b) \( {\color{White} x} y = 0,2\,x^5 + x \)

c) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {x^2 \over 2} - {3 \over 4}\,x + 25 \)

d) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {4\,x^2 - 8\,x \over 5} \)

e) \( \displaystyle {\color{White} x} y = 15 - {x + 3 \over 2} \)

f) \( {\color{White} x} y = (3\,x - 5)^2 \)

Ställ upp derivatan av följande funktioner med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {2 \over x} \)

b) \( \displaystyle {\color{White} x} y = -{3 \over x} + \sqrt{5} \)

c) \( {\color{White} x} y = 6 - 2\,\sqrt{x} \)

d) \( \displaystyle {\color{White} x} y = 7\,x^4 - {25 \over x} \)

e) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {1 \over x^2} \)

f) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {1 \over \sqrt{x}} \)

Derivera med hjälp av deriveringsreglerna:

a) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {x^2 + 3 \over x} \)

b) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {x^2\,\sqrt{x}\over 5} \)

c) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {2 \over 3}\,x\,\sqrt{x} - {1 \over x^2} \)

d)    Beräkna \( {\color{White} x} f\,'(4)\, {\color{White} x} \) om \( \displaystyle {\color{White} x} f(x) = x^3 + {\sqrt{x} \over 2} {\color{White} x} \) med 3 decimaler.

e)    Beräkna \( {\color{White} x} f\,'(1)\, {\color{White} x} \) om \( \displaystyle {\color{White} x} f(x) = {x^3 + x^2 + x - 1 \over x} \).

I avsnittet Introduktion till derivatan sysslade vi med följande aktivitet:

Yulia tävlar i simhopp. Hennes hopp från 10-meterstorn följer en bana som beskrivs av funktionen

\[ y = f(x) = - 9\,x^2 + 6\,x + 10\, \]

där \( y\, \) är Yulias höjd över vattnet (i meter) och \( x\, \) är tiden efter hon lämnat brädan (i sekunder).

I aktiviteten hade vi grafiskt bestämt ett närmevärde till Yulias hastighet med vilken hon slår i vattnet efter 1,45 sekunder.

a)   Ställ upp med deriveringsreglerna derivatan av \( f(x)\, \).

b)   Beräkna med hjälp av derivatan från a) med vilken exakt (momentan) hastighet Yulia slår i vattnet?

Följande parabel är given:

\[ y = x^2 + 5\,x - 8 \]

a)   Vilken lutning har parabeln i punkten \( x = 1\, \)?

b)   Ange koordinaterna till parabelns och tangentens beröringspunkt samt ekvationen för tangenten till parabeln i i punkten \( x = 1\, \).

c)   Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem. Markera beröringspunkten.

Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan

\[ y = x^2 + 5\,x - 1\, \]

i punkten \( x = -1\, \) .

I en bakteriekultur växer antalet bakterier y enligt följande modell

\[ y = 60\,x^4 + 3\,250 \]

där \( x\, \) är tiden i timmar.

Efter hur många timmar kommer bakteriernas tillväxthastighet att vara \( 2\,000 \) bakterier per timme?

Svara i hela timmar och hela minuter.

Tangenten till kurvan:

\[ y = f(x) = a\,x^2 + b\,x \]

har i beröringspunkten \( (5, -6)\, \) lutningen \( \,4 \) .

Bestämma konstanterna \( a\, \) och \( b\, \) och ange kurvans (specifika) ekvation.

Kurvan

\[ y = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \]

har en tangent som är parallell till den räta linjen \( y = x - 4\, \).

a)   Rita kurvan och den räta linjen som är parallel till tangenten i samma koordinatsystem.

b)   Bestäm beröringspunktens \(\,x\)- och \(\,y\)-koordinat.

c)   Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan i beröringspunkten.

d)   Rita tangentens graf i samma koordinatsystem som i a).