Skillnad mellan versioner av "1.5a Lösning 11"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
'''Bevis''': | '''Bevis''': | ||
| + | Visa först med den explicita formeln: | ||
| + | |||
| + | <math> F(1) = 1 \quad\text{och }\quad F(2) = 1 </math> | ||
| + | |||
| + | För den allmänna behandlingen med <math> n\, </math> inför några förkortande beteckningar för uttryck som förekommer ofta: | ||
| + | |||
| + | <math> c_1 = {1\over\sqrt{5}} \qquad\qquad\qquad c_2 = -\,{1\over\sqrt{5}} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math> r_1 = </math> <big><big><math> {1\,+\,\sqrt{5}\over 2} \quad\quad {\color{White} x} </math></big></big> <math> r_2 = </math> <big><big><math> {1\,-\,\sqrt{5}\over 2} </math></big></big> | ||
| + | |||
| + | Då får den explicita formeln följande lite enklare form: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ::<big><math> F(n) \, = \, c_1\:r_1\,^n\;+\;c_2\:r_2\,^n </math></big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Bilda med denna form <math> F(n-1) \, </math> och <math> F(n-2) \, </math> och visa identiteten: | ||
| + | |||
| + | <math> F(n) = F(n-1) + F(n-2)\, </math> | ||
| + | |||
| + | Skulle det vara enklare för dig skulle du kunna även visa den ekvivalenta identiteten istället: | ||
| + | |||
| + | <math> F(n+2) = F(n+1) + F(n)\, </math> | ||
| + | |||
| + | För att slutföra beviset borde du återställa de inledningsvis förkortade uttrycken och sätta in dem istället för sina resp. förkortningar <math> c_1, c_2, r_1, r_2\, </math>. | ||
Versionen från 4 september 2014 kl. 12.51
Påstående:
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
där \( F(n) \, \) är Fibonaccis funktion:
- \[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]
Bevis: Visa först med den explicita formeln\[ F(1) = 1 \quad\text{och }\quad F(2) = 1 \]
För den allmänna behandlingen med \( n\, \) inför några förkortande beteckningar för uttryck som förekommer ofta\[ c_1 = {1\over\sqrt{5}} \qquad\qquad\qquad c_2 = -\,{1\over\sqrt{5}} \]
\( r_1 = \) \( {1\,+\,\sqrt{5}\over 2} \quad\quad {\color{White} x} \) \( r_2 = \) \( {1\,-\,\sqrt{5}\over 2} \)
Då får den explicita formeln följande lite enklare form:
- \( F(n) \, = \, c_1\:r_1\,^n\;+\;c_2\:r_2\,^n \)
Bilda med denna form \( F(n-1) \, \) och \( F(n-2) \, \) och visa identiteten\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2)\, \]
Skulle det vara enklare för dig skulle du kunna även visa den ekvivalenta identiteten istället\[ F(n+2) = F(n+1) + F(n)\, \]
För att slutföra beviset borde du återställa de inledningsvis förkortade uttrycken och sätta in dem istället för sina resp. förkortningar \( c_1, c_2, r_1, r_2\, \).
