Skillnad mellan versioner av "1.5a Lösning 11"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
'''Påstående''':<big> | '''Påstående''':<big> | ||
| + | |||
| + | ::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math> | ||
:::::::Om <math> \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} </math> | :::::::Om <math> \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} </math> | ||
| Rad 5: | Rad 7: | ||
:::::::då <math> \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} </math> | :::::::då <math> \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} </math> | ||
</big> | </big> | ||
| + | |||
| + | ::<math> F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 </math> | ||
| + | |||
'''Bevis''' (med derivatans definition): | '''Bevis''' (med derivatans definition): | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | Fibonaccis funktion | ||
| + | |||
| + | ::<math> F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ | ||
| + | 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ | ||
| + | F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden. | ||
| + | |||
| + | Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och ser ut så här: | ||
Versionen från 4 september 2014 kl. 11.47
Påstående:
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
- Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)
- då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)
- \[ F(n) = {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \]
Bevis (med derivatans definition):
Fibonaccis funktion
- \[ F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2\; , \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \]
är inte bara diskret utan också rekursiv, vilket betyder att den i sin definition använder sig själv, närmare bestämt de två föregående värdena. Dvs den anropar sig själv fast med olika argument. Man måste alltid känna till de två föregående värdena. Därför har den också två startvärden.
Men det finns även en icke-rekursiv formel för direkt beräkning av fibonaccitalen. Fördelen med denna explicita formel är att man inte behöver känna till några föregående värden. Därför lämpar den sig för direkt beräkning av stora fibonaccital, utan att beräkna alla föregående fibonaccital. Den upptäcktes först 1718 och ser ut så här:
