Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 9"

Versionen från 14 oktober 2011 kl. 14.28

Sätter vi in denna form i ansasten ovan får vi:

\[ x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = (a\,x^2 + b\,x + c) \cdot (x-4) \]

Vi vet från förra avsnitt att två polynom är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer. För att kunna genomföra denna jämförelse av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:

\[ x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = a\,x^3 + (b+a)\,x^2 + (c+b)\,x + c \]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{align} a & = 1 \\ b + a & = -6 \\ c + b & = 5 \\ c & = 12 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 1 \) i den andra och \( c = 12 \) i den tredje ekvationen får vi i båda fall b = -7. Därmed har vi bestämt polynomet \(Q(x)\)\[ Q(x) = x^2 - 7\,x + 12 \]

I början av detta avsnitt (Faktorisering av 2:a gradspolynom) hade vi faktoriserat det här polynomet till:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Inför vi nu detta resultat i vår ansats i början får vi faktoriseringen för P(x):

\[ P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = Q(x) \cdot (x+1) = (x^2 - 7\,x + 12) \cdot (x+1) = (x-3)\,\cdot\,(x-4)\,\cdot\,(x+1) \]