Skillnad mellan versioner av "Logaritmlagarna"

Versionen från 15 mars 2011 kl. 10.39

Logaritmlagarna

Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \), men här av praktiska skäl är vald till 10, \( A \) och \( B \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.

Bevis av logaritmlagarna

Lagarna ovan gäller för vilken bas som helst. Därför skulle istället för \( \lg\, \) kunna stå \( \log\, \) utan angivelse av basen. Därför för vi bevisen mera generellt för \( \log\, \).

Logaritmlag 1:

\[ \log(A \cdot B) \; = \; \log A + \log B \]

Bevis:

Logaritmlagarna är potenslagarnas logaritmering. Därför skriver vi upp första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden:

\[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]

Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst. Därav följer påståendet.

Påstående (Nollte potens):

\[ a^0 \; = \; 1 \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:

\[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]

Påstående (Rationell exponent):

\[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]

Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:

\[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).

Internetlänkar

http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar

@@ Rad 16: / Rad 16: @@
 == Bevis av logaritmlagarna ==
+Lagarna ovan gäller för vilken bas som helst. Därför skulle istället för <math> \lg\, </math> kunna stå <math> \log\, </math> utan angivelse av basen. Därför för vi bevisen mera generellt för <math> \log\, </math>.
 '''Logaritmlag 1''':

Skillnad mellan versioner av "Logaritmlagarna"

Versionen från 15 mars 2011 kl. 10.39

Logaritmlagarna

Bevis av logaritmlagarna

Internetlänkar

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 5

Navigering

Sök