Skillnad mellan versioner av "3.3 Övningar till Terasspunkter"

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, - x^3 \, + \, 1 \]

a)   Derivera funktionen och bestäm derivatans nollställe.

b)   Vilket tecken har derivatan till vänster om sitt nollställe?

c)   Vilket tecken har derivatan till höger om sitt nollställe?

d)   Har funktionen i derivatans nollställe en extrempunkt eller en terasspunkt? Motivera.

e)   Sammanfatta dina resultat från a)-d) i en teckentabell.

f)   Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem. Beskriv hur graferna bekräftar dina resultat.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, 2\,x^3 \, - \, 5 \]

a)   Derivera funktionen tre gånger.

b)   Bestäm derivatans nollställe.

c)   Vilket värde har andraderivatan i derivatans nollställe?

d)   Vilket värde har tredjederivatan i derivatans nollställe?

e)   Har funktionen i derivatans nollställe en terasspunkt? Motivera. Om ja, ange terasspunktens koordinater.

f)   Kontrollera dina resultat från grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

     Om du hittat en terasspunkt markera den i funktionens graf samt derivatans nollställe i derivatans graf.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, x^4 \]

a)   Rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

b)   Vilken typ av kritisk punkt visar funktionens graf och var finns den?

c)   Visa algebraiskt (med regeln om terasspunkter med högre derivator) att den kritiska punkten inte är någon terasspunkt.

d)   Avgör algebraiskt (med en teckentabell) om vilken typ av kritisk punkt det handlar om.

Undersök om och var följande funktion har eventuella maxima, minima eller terasspunkter:

\[ f(x) \, = \, 2\,x^3 - 6\,x^2 + 6\,x \]

Gå igenom följande steg för att lösa uppgiften:

a)   Derivera funktionen tre gånger.

b)   Bestäm derivatans nollställen.

c)   Bestäm andraderivatans värde i derivatans nollställen.

d)   Bestäm tredjederivatans värde i derivatans nollställen.

e)   Avgör om derivatans nollställen är funktionens maxima, minima eller terasspunkter och ange deras koordinater.

f)   Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

     Markera de eventuella maxima, minima eller terasspunkter du hittat i funktionens graf samt derivatans nollställen i derivatans graf.

Undersök om och var följande funktion har kritiska punkter:

\[ f(x) \, = \, 3\,x^4 + 4\,x^3 \]

a)   Ange kritiska punkternas typ och bestäm deras graferna.

b)   Kontrollera dina resultat grafiskt. Kommentera kontrollen.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, - x^4 - 4\,x^3 \]

a)   Hitta funktionens alla kritiska punkter och ange deras typ.

b)   Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem. Besvara följande frågor med hjälp av graferna:

      Är något av derivatans nollställen en dubbelrot? Om ja, vilket av dem?

      Vilken slutsats kan man dra av dubbelroten om den kritiska punktens typ?

Undersök följande funktion:

\[ f(x) = 2\,x^5 - 5\,x^4 - 10\,x^3 + 20\,x^2 + 40\,x + 23 \]

a)   Bestäm funktionens alla kritiska punkter, deras typ och koordinater.

      Använd digitala hjälpmedel för att lösa högre gradsekvationer, se Digital beräkning av nollställen.

b)   Har \( f(x) \) även några inflexionspunkter? I så fall ange deras koordinater.

c)   Visualisera dina resultat.

Följande funktion är given:

\[ f(x) = (x - 2)^3 \, (x + 2) + 7 \]

a)   Utveckla funktionsuttrycket så att du kan derivera. Ange derivatan \( f\,'(x) \).

b)   Bestäm funktionens alla kritiska punkter och inflexionspunkter.

      Använd digitala hjälpmedel för att lösa högre gradsekvationer, se Digital beräkning av nollställen.

      Bestäm kritiska punkternas typ. Ange alla punkters koordinater.

c)   Visualisera dina resultat.