Skillnad mellan versioner av "3.4 Övningar till Kurvkonstruktioner"

Följande graf till en funktion med definitionsmängden \( \, -6 \leq x \leq 5 -\) är given:

a)   Avläs funktionens största och minsta värde.

b)   Hur många nollställen har funktionens derivata? Motivera.

c)   Avläs derivatans nollställen.

d)   Anta att grafen visar en polynomfunktion. Ange polynomets grad. Motivera.

Figuren visar grafen till en funktion med samma förlopp som i övning 1, men med en annan definitionsmängd: \( \, -6 < x < 5 \, \).

Ange funktionens största och minsta värde.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, {4 \over 3} \, x^3 - 16 \, x \]

a)   Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger.

b)   Beräkna derivatans nollställen.

c)   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och avgör om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

d)   Ange de i c) hittade punkters koordinater.

e)   Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \, \) i olika koordinatsystem.

Undersök om och var följande funktion har eventuella maxima, minima eller terasspunkter:

\[ f(x) \, = \, 2\,x^3 - 6\,x^2 + 6\,x \]

Gå igenom följande steg för att lösa uppgiften:

a)   Derivera funktionen tre gånger.

b)   Bestäm derivatans nollställen.

c)   Bestäm andraderivatans värde i derivatans nollställen.

d)   Bestäm tredjederivatans värde i derivatans nollställen.

e)   Avgör om derivatans nollställen är funktionens maxima, minima eller terasspunkter och ange deras koordinater.

f)   Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem.

     Markera de eventuella maxima, minima eller terasspunkter du hittat i funktionens graf samt derivatans nollställen i derivatans graf.

Undersök om och var följande funktion har kritiska punkter:

\[ f(x) \, = \, 3\,x^4 + 4\,x^3 \]

a)   Ange kritiska punkternas typ och bestäm deras graferna.

b)   Kontrollera dina resultat grafiskt. Kommentera kontrollen.

Följande funktion är given:

\[ f(x) \, = \, - x^4 - 4\,x^3 \]

a)   Hitta funktionens alla kritiska punkter och ange deras typ.

b)   Kontrollera dina resultat grafiskt genom att rita funktionens och derivatans grafer i två olika koordinatsystem. Besvara följande frågor med hjälp av graferna:

      Är något av derivatans nollställen en dubbelrot? Om ja, vilket av dem?

      Vilken slutsats kan man dra av dubbelroten om den kritiska punktens typ?

Undersök följande funktion:

\[ f(x) = 2\,x^5 - 5\,x^4 - 10\,x^3 + 20\,x^2 + 40\,x + 23 \]

a)   Bestäm funktionens alla kritiska punkter, deras typ och koordinater.

      Använd ev. digitala hjälpmedel för att lösa högre gradsekvationer.

b)   Har \( f(x) \) även några inflexionspunkter? I så fall ange deras koordinater.

c)   Visualisera dina resultat.

Följande funktion är given:

\[ f(x) = (x - 2)^3 \, (x + 2) + 7 \]

a)   Utveckla funktionsuttrycket så att du kan derivera. Ange derivatan \( f\,'(x) \).

b)   Bestäm funktionens alla kritiska punkter och inflexionspunkter.

      Använd ev. digitala hjälpmedel för att lösa högre gradsekvationer.

      Bestäm kritiska punkternas typ. Ange alla punkters koordinater.

c)   Visualisera dina resultat.