Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 10b"

Versionen från 26 december 2014 kl. 13.37

\[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):

\[ A''(15) = -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( \, x = 15 \, \). Därav följer att \( A(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = 15 \, \).

Rektangeln får största arean för \( \, x = 15 \, \).

Rektangelns största area:

\[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]