Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 8"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 17: | Rad 17: | ||
Derivatans nollställen: | Derivatans nollställen: | ||
| − | <math>\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ | + | :<math>\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ |
| − | + | {\rm Vieta:} & & x_1 & = & 2 \\ | |
| − | + | & & x_2 & = & 6 | |
| − | + | \end{array}</math> | |
Andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span> | Andraderivatans tecken<span style="color:black">:</span> | ||
Versionen från 20 december 2014 kl. 12.24
För att kunna derivera \( {\color{White} x} f(x) {\color{White} x} \) utvecklar vi funktionsuttrycket till ett polynom som en summa av termer:
\[ f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} = {1 \over 3}\,(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) = \]
\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x \,- \, (x^2 - 11\,x + 25)) = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x - x^2 + 11\,x - 25) = \]
\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 12\,x^2 + 36\,x - 25) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]
Nu deriverar vi två gånger:
\[ f(x) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]
\[ f\,'(x) = x^2 - 8\,x + 12 \]
\[ f\,''(x) = 2\,x - 8 \]
Derivatans nollställen:
\[\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ {\rm Vieta:} & & x_1 & = & 2 \\ & & x_2 & = & 6 \end{array}\]
Andraderivatans tecken:
\( f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 {\color{White} x} \) är en maximipunkt.
\( f\,''(6) = 2 \cdot 6 - 8 = {\color{White} -}4 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_2 = 6 {\color{White} x} \) är en minimipunkt.
Extremvärden:
\[ f(2) = {1 \over 3} \cdot 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - {25 \over 3} \, = \, {7 \over 3} \]
\[ f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} \]
