Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 2b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
& & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 | & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | Därmed är det bevisat att <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi | + | Därmed är det bevisat att <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten. |
| − | Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = 0,3 </math> och <math> \, x = 0,4 </math>: | + | Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = 0,3 </math> till vänster och <math> \, x = 0,4 </math> till höger om extrempunkten: |
::<math> f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 </math> | ::<math> f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 </math> | ||
| Rad 25: | Rad 25: | ||
<tr> | <tr> | ||
<td><math>x</math></td> | <td><math>x</math></td> | ||
| − | <td><math> | + | <td><math>0,3</math></td> |
| − | <td><math> | + | <td><math>\displaystyle {1 \over 3}</math></td> |
| − | <td><math> | + | <td><math>0,4</math></td> |
</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
<td><math> f\,'(x) </math></td> | <td><math> f\,'(x) </math></td> | ||
| − | |||
| − | |||
<td><math>+</math></td> | <td><math>+</math></td> | ||
| + | <td><math>0</math></td> | ||
| + | <td><math>-</math></td> | ||
</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
<td><math> \,f(x) </math></td> | <td><math> \,f(x) </math></td> | ||
| − | |||
| − | |||
<td> <strong><big><big>↗</big></big></strong> </td> | <td> <strong><big><big>↗</big></big></strong> </td> | ||
| + | <td> <strong><span style="color:red">Max</span></strong> </td> | ||
| + | <td> <strong><big><big>↘</big></big></strong> </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | Funktionen <math> f(x)\, </math> har ett <strong><span style="color:red"> | + | Funktionen <math> f(x)\, </math> har ett <strong><span style="color:red">maximum</span></strong> i <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} </math>, därför att <math> f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 </math> och derivatan byter tecken från <math>+</math> till <math> - </math> kring <math> \, 5 </math>. |
| − | Dessutom är <math> f(x)\, </math> | + | Dessutom är <math> f(x)\, </math> växande till vänster om och avtagande till höger om <math> \displaystyle {1 \over 3} </math> vilket ytterligare bekräftar att det föreligger ett maximum i <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} </math>. |
Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> \displaystyle x = {1 \over 3} \, </math>. | Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> \displaystyle x = {1 \over 3} \, </math>. | ||
Efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund har Yulia nått sin högsta höjd. | Efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund har Yulia nått sin högsta höjd. | ||
Versionen från 8 december 2014 kl. 20.21
Vi deriverar en gång:
- \[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
- \[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]
För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):
- \[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 18\,x \\ & & {6 \over 18} & = & x \\ & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 \end{array}\]
Därmed är det bevisat att \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten.
Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 0,3 \) till vänster och \( \, x = 0,4 \) till höger om extrempunkten:
- \[ f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 \]
- \[ f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 \]
Vi skriver in våra resultat i följande teckentabell:
| \(x\) | \(0,3\) | \(\displaystyle {1 \over 3}\) | \(0,4\) |
| \( f\,'(x) \) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( \,f(x) \) | ↗ | Max | ↘ |
Funktionen \( f(x)\, \) har ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \), därför att \( f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 5 \).
Dessutom är \( f(x)\, \) växande till vänster om och avtagande till höger om \( \displaystyle {1 \over 3} \) vilket ytterligare bekräftar att det föreligger ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \).
Därav följer att \( f(x) \, \) har ett maximum i \( \displaystyle x = {1 \over 3} \, \).
Efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund har Yulia nått sin högsta höjd.
