Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 1a"
Taifun (Diskussion | bidrag) (Skapade sidan med 'a) <math> f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 </math> ::<math> f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 </math> ::<math> f''(x) \, = \, 0,48 </math> Image: Ex 1 Vinternatt Funk...') |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | Vi deriverar två gånger: | |
| − | ::<math> f | + | ::<math> f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math> |
| − | ::<math> f | + | ::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math> |
| − | + | ::<math> f''(x) \, = \, - 18 </math> | |
| − | + | ||
| + | För att få reda på derivatans nollställe som [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">reglerna om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]] kräver sätter vi derivatan till <math> \, 0 </math> och beräknar tidpunkten <math> x \, </math> då derivatan blir <math> \, 0 </math>: | ||
| − | + | ::<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ | |
| − | + | & & 6 & = & 18\,x \\ | |
| − | ::<math>\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & | + | & & {1 \over 3} & = & x |
| − | & & | + | |
| − | & & | + | |
| − | + | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
Versionen från 8 december 2014 kl. 15.30
Vi deriverar två gånger:
- \[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
- \[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]
- \[ f''(x) \, = \, - 18 \]
För att få reda på derivatans nollställe som reglerna om maxima och minima med andraderivata kräver sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar tidpunkten \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):
- \[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 18\,x \\ & & {1 \over 3} & = & x \end{array}\]
Nu vet vi att derivatan blir \( \, 0 \) i \( x = 5 \, \) dvs tangenten till kurvan \( y = f(x) \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontell i \( x = 5 \, \). Men en horisontell tangent kan vara ett maximum eller ett minimum.
För att avgöra om det föreligger ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken. Därför sätter vi \( x = 5 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
- \[ f''(5) = 0,48 \,>\, 0 \]
Andraderivatan är positiv (konstant) för alla \( x \, \) och därmed även för \( x = 5 \, \). Därav följer att \( f(x) \, \) har ett minimum i \( x_{min} = 5 \, \).
Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl \( 5 \, \).
