Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 4b"

Versionen från 2 december 2014 kl. 13.12

Från a) vet vi att derivatan

\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]

har två nollställen \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \).

Teckenstudium kring

• nollstället \( \, x_1 = 1 \, \):

\[ f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]

\[ f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]

• nollstället \( \, x_2 = 5 \, \):

\[ f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]

\[ f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]

Vi inför resultaten i en teckentabell:

Slutsats:

      För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 1 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.

      I intervallet \( {\color{White} x} 1 < x < 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.

      För alla  \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.