Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"

Versionen från 23 oktober 2014 kl. 11.34

Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner

Derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \)

Det kan vara bra att friska upp sina kunskaper om exponentialfunktionen med basen \( e\, \) (Eulers tal) från kapitel 1. Vi behöver nämligen i detta avsnitt att härleda derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) med basen \( e\, \) för att sedan kunna med hjälp av den ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \).

För att kunna göra det gör vi först ett försök med derivatans definition att ställa upp en deriveringsregel för \( y = a\,^x \). Försöket kommer att misslyckas, vilket kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning lyder:

Svaret är: Ja, om och endast om \( {\color{White} x} a \, = \, e \)   . Detta är möjligt eftersom vi har friheten att välja en bas.

Man vänder alltså på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel \(-\) den enklaste möjliga, nämligen derivatan = funktionen \(-\) och frågar efter en bas som uppfyller denna deriveringsregel.

Frågeställningen har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \) som vi använde i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till? för att beräkna \( e\, \). På 1700-talet bevisade Euler att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Vi försöker nu att följa hans bevis.

Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \)

Från att ha ställt upp deriveringsregeln för den naturliga exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):

Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för den naturliga exponentialfunktionen.

Uppdaterad tabell över deriveringsregler

I följande tabell är \( c,\,k,\,m,\,n,\,a \) konstanter, medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler, \( x\, \) den oberoende och \( y\, \) den beroende variabeln\[ y = f(x)\, \].

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( x\, \)	\( 1\, \)
\( a\; x \)	\( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( n\cdot a\,x\,^{n-1} \)
\( {1 \over x} \)	\( - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( e\,^x \)	\( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \)	\( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( c\cdot e\,^{k\,x} \)	\( c\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \)	\( a\,^x \cdot \ln a \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler och fler generella satser.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.