Skillnad mellan versioner av "1.6a Lösning 5b"

Versionen från 18 augusti 2014 kl. 12.01

Fall 1: \( {\color{White} x} x + 1 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 1 \, | = x + 1\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} x + 1 + 2\,x & = 3 \\ 3\,x + 1 & = 3 \\ 3\,x & = 3 - 1 \\ 3\,x & = 2 \\ x_1 & = {2 \over 3} \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x \geq -1 \). Det stämmer att \( {2 \over 3} \geq -1 \). Därmed kan vi godta denna lösning.

Fall 2: \( {\color{White} x} x + 1 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 1 \, | = -(x + 1) = -x - 1\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} -\,x -1 - 2\,x & = 3 \\ -\,3\,x - 1 & = 3 \\ - 3 - 1 & = 3\,x \\ - 4 & = 3\,x \\ {-4 \over 3} & = x \\ x_2 & = -\,{4 \over 3} = -\,1\,{1 \over 3} \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x \geq -1 \). Faktiskt är \( -\,1\,{1 \over 3} \not\ge -1 \) utan det är \( -\,1\,{1 \over 3} < -1 \). Därmed måste vi förkasta denna lösning. \( x_2 = -\,1\,{1 \over 3} \) är en falsk rot.

Ekvationen har endast lösningen:

\[ x = {2 \over 3} \]

Lösningen bekräftas av grafen i 5a).