Skillnad mellan versioner av "Exponentialfunktioner och logaritmer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(46 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.6 Logaritmer|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|<-- Tillbaka till Talet e]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Logaritmer|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[Exponentialfunktioner och logaritmer|Teori]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Övningar till Exponentialfunktioner och logaritmer|Övningar]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 10 Logaritmer.pdf|Lektion 10 Logaritmer]]
+
<!-- [[Media: Lektion 10 Logaritmer.pdf|Lektion 10 Logaritmer]] -->
 +
__NOTOC__
 +
== Exponentialfunktioner ==
  
−
__TOC__
+
Logaritm är ett annat ord för exponent.
−
== Exponentialfunktioner & exponentialekvationer ==
+
  
−
Logaritm är ett annat ord för exponent. Därför börjar vi logaritmavsnittet med ett inledande exempel på sådana funktioner som har sin oberoende variabel x i exponenten.
+
Vi börjar med ett inledande exempel på sådana funktioner som har sin oberoende variabel x i exponenten. Sådana funktioner heter exponentialfunktioner.
  
 
[[Image: Exponentialfunktioner.jpg]]
 
[[Image: Exponentialfunktioner.jpg]]
  
−
== Exponential- och potensekvationer ==
+
== Logaritmen till basen 10 (10-logaritmen) ==
−
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
+
  
−
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
+
[[File: 118_10-logaritmen_40.jpg]]
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
+
== Exponentialekvationer ==
 +
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
+
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
+
::Funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt <math> {\color{White} x} y = c \cdot a^x\, </math>.
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
+
::Ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> kallas <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt <math> {\color{White} x} a^x\, = b </math>.
  
−
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten, medan i potensfunktioner och -ekvationer x förekommer i basen. Medan [[1.5_Potenser#Potensekvationer|potensekvationer]] löses genom rotdragning, löses exponentialekvationer genom <span style="color:red">logaritmering</span>.
  
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
−
Alternativt (med bråktal som exponent):
 
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
  
−
Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlades ovan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
+
== Logaritmer till olika baser (Byte av bas) ==
 +
[[File: 123_Logaritmer_med_olika_baser_40.jpg]]
  
−
== Logaritmbegreppet ==
+
<big>'''Om [[1.7 Logaritmlagarna|logaritmlagar.]] se nästa avsnitt.'''</big>
  
−
[[Image: Logaritmer.jpg]]
 
  
−
::::<Big>'''Se nästa avsnitt om [[1.7 Logaritmlagarna|logaritmlagarna.]]'''</Big>
 
  
 
== Internetlänkar ==
 
== Internetlänkar ==
Rad 60: Rad 51:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 27 januari 2016 kl. 10.49

       <-- Tillbaka till Talet e          Teori          Övningar      


Exponentialfunktioner

Logaritm är ett annat ord för exponent.

Vi börjar med ett inledande exempel på sådana funktioner som har sin oberoende variabel x i exponenten. Sådana funktioner heter exponentialfunktioner.

Fil:Exponentialfunktioner.jpg

Logaritmen till basen 10 (10-logaritmen)

Fil:118 10-logaritmen 40.jpg

Exponentialekvationer

Själva aktionen \( a^x\, \) dvs att ta \( a\, \) upphöjt till \( x\, \) kallas exponentiering och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om kvadrering.

Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = 10^x\, \) kallas exponentialfunktioner, generellt \( {\color{White} x} y = c \cdot a^x\, \).
Ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) kallas exponentialekvationer, generellt \( {\color{White} x} a^x\, = b \).

I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten, medan i potensfunktioner och -ekvationer x förekommer i basen. Medan potensekvationer löses genom rotdragning, löses exponentialekvationer genom logaritmering.


Logaritmer till olika baser (Byte av bas)

Fil:123 Logaritmer med olika baser 40.jpg

Om logaritmlagar. se nästa avsnitt.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer



Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=Exponentialfunktioner_och_logaritmer&oldid=22480"