Skillnad mellan versioner av "1.4 Lösning 12"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Created page with "===== Exempel 6 ===== Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: <math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} </math> <math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2...")
 
m
 
(43 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
===== Exempel 6 =====
+
<math>\begin{align} v - {u \over u\,v + v\,x} & = {v\,x^2 \over x^2 - u^2} + {u\,v^2 \over v\,x + u\,v} \\
  
−
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: <math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} </math>
+
                    v - {u \over v\,(u + x)} & = {v\,x^2 \over (x+u)\,(x-u)} + {u\,v^2 \over v\,(x + u)} \\
  
−
<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
+
                    v - {u \over v\,(x + u)} & = {v\,x^2 \over (x+u)\,(x-u)} + {u\,v^2 \over v\,(x + u)} & | \;\cdot v\,(x + u)\,(x-u)\\
 +
\end{align}</math>
  
 +
Vi multiplicerar båda leden med <math> v\,(x + u)\,(x-u) </math> som är den minsta gemensamma nämnaren till de rationella uttrycken ovan, för att få bort alla nämnare och därmed alla bråk.
  
−
<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} (x+2)}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} (x+2)}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
+
<math>\begin{align}
−
 
+
v^2\,(x + u)\,(x-u) - u\,(x-u) & = v^2\,x^2 + u\,v^2\,(x-u) \\
−
 
+
    v^2\,(x^2-u^2) - u\,(x-u) & = v^2\,x^2 + u\,v^2\,(x-u) \\
−
<math> = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = </math>
+
v^2\,x^2-v^2\,u^2 - u\,x + u^2 & = v^2\,x^2 + u\,v^2\,x - u^2\,v^2 & |  - v^2\,x^2 + v^2\,u^2 \\
−
 
+
                  - u\,x + u^2 & = u\,v^2\,x   & | \qquad\qquad\quad\; / \; u \\
−
 
+
                      - x + u & = v^2\,x   \\
−
<math> = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
+
                            u & = v^2\,x + x \\
 +
                            u & = x\,(v^2 + 1) \\
 +
            {u \over v^2 + 1} & = x \\
 +
                            x & = {u \over v^2 + 1}
 +
    \end{align}</math>

Nuvarande version från 4 augusti 2014 kl. 00.06

\(\begin{align} v - {u \over u\,v + v\,x} & = {v\,x^2 \over x^2 - u^2} + {u\,v^2 \over v\,x + u\,v} \\ v - {u \over v\,(u + x)} & = {v\,x^2 \over (x+u)\,(x-u)} + {u\,v^2 \over v\,(x + u)} \\ v - {u \over v\,(x + u)} & = {v\,x^2 \over (x+u)\,(x-u)} + {u\,v^2 \over v\,(x + u)} & | \;\cdot v\,(x + u)\,(x-u)\\ \end{align}\)

Vi multiplicerar båda leden med \( v\,(x + u)\,(x-u) \) som är den minsta gemensamma nämnaren till de rationella uttrycken ovan, för att få bort alla nämnare och därmed alla bråk.

\(\begin{align} v^2\,(x + u)\,(x-u) - u\,(x-u) & = v^2\,x^2 + u\,v^2\,(x-u) \\ v^2\,(x^2-u^2) - u\,(x-u) & = v^2\,x^2 + u\,v^2\,(x-u) \\ v^2\,x^2-v^2\,u^2 - u\,x + u^2 & = v^2\,x^2 + u\,v^2\,x - u^2\,v^2 & | - v^2\,x^2 + v^2\,u^2 \\ - u\,x + u^2 & = u\,v^2\,x & | \qquad\qquad\quad\; / \; u \\ - x + u & = v^2\,x \\ u & = v^2\,x + x \\ u & = x\,(v^2 + 1) \\ {u \over v^2 + 1} & = x \\ x & = {u \over v^2 + 1} \end{align}\)

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=1.4_Lösning_12&oldid=12057"