Skillnad mellan versioner av "1.3 Lösning 10b"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Created page with "Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>: <math> Q(x) = x^2 - 5\,x + 6 </math> För att faktorisera <math> Q(x)\, </math> sätter vi upp ekvationen: <math> x^2 ...")
 
m
 
(23 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
Därmed har vi bestämt polynomet <math> Q(x)\, </math>:
+
Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat:
  
−
<math> Q(x) = x^2 - 5\,x + 6 </math>
+
<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math>
  
−
För att faktorisera <math> Q(x)\, </math> sätter vi upp ekvationen:
+
I 10 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till:
  
−
<math> x^2 - 5\,x + 6 = 0 </math>
+
<math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math>
  
−
Vietas formler ger:
+
För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen:
  
−
<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-5) = 5   \\
+
<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>
−
                     x_1 \cdot x_2 & = 6
+
 
 +
Vietas formler ger :
 +
 
 +
<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-13) = 13   \\
 +
                     x_1 \cdot x_2 & = 2
 
         \end{align}</math>
 
         \end{align}</math>
  
−
Man hittar lösningarna <math> x_1 = 2\,</math> och <math> x_2 = 3\,</math> eftersom <math> 2 + 3 = 5\,</math> och <math> 2 \cdot 3 = 6 </math>.  
+
Det är inte så enkelt att få lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här:
 +
 
 +
<math>\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0                    \\
 +
                                x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2}  \\
 +
                                x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25}      \\
 +
                                x_{1,2} & = 6,5 \pm 6,34              \\
 +
                                x_1    & = 12,84                    \\
 +
                                x_2    & = 0,16                  \\
 +
    \end{align}</math>
 +
 
 +
I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: [[1.3_Faktorisering_av_polynom#En_nackdel|Vietas formler ..., En nackdel]].
  
−
Därför kan polynomet <math> x^2 - 5\,x + 6 </math> faktoriseras så här:
+
Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här:
  
−
<math> x^2 - 5\,x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) </math>
+
<math> Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16) </math>
  
−
Inför vi nu detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av <math> P(x)\, </math> i början:
+
Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början:
  
−
<math> P(x) = x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = Q(x) \cdot (x-4) </math>
+
<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math>
  
−
får vi faktoriseringen av <math> P(x)\, </math>:
+
får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet:
  
−
<math> P(x) = (x^2 - 5\,x + 6) \cdot (x-4) = (x-2)\,\cdot\,(x-3)\,\cdot\,(x-4) </math>
+
<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16) </math>

Nuvarande version från 19 september 2012 kl. 14.46

Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) \]

I 10 a) hade vi bestämt \( Q(x)\, \) till\[ Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 \]

För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även \( Q(x)\, \) faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]

Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]

Det är inte så enkelt att få lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här\[\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0 \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25} \\ x_{1,2} & = 6,5 \pm 6,34 \\ x_1 & = 12,84 \\ x_2 & = 0,16 \\ \end{align}\]

I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: Vietas formler ..., En nackdel.

Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här\[ Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16) \]

Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) \]

får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16) \]

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=1.3_Lösning_10b&oldid=6440"