Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Derivatan av en konstant)
m
 
(401 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[2.4 Deriveringsregler|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|<-- Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.4 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Teori]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
__TOC__
+
[[Media: Lektion 19 Deriveringsregler I Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 19 Deriveringsregler I</span></strong>]]
  
−
I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och bevisa en rad regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man använda de bevisna reglerna i fortsättningen. I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en tabell. Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i hela C-kursen.  
+
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
  
−
I förra avsnitt hade vi ställt upp derivatans definition för en funktion <math> y = f(x)\, </math> i en viss punkt <math> x = a\, </math>. Generaliserar si denna definition och låter <math> a\, </math> variera, kan vi skriva derivatans definition så här:
+
__TOC__
  
−
:::::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} </math>
+
 
 +
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
  
 
== Derivatan av en konstant ==
 
== Derivatan av en konstant ==
  
−
'''Påstående''':<big>
+
'''Regel:'''
−
::::En konstants derivata är 0, dvs:
+
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b>
  
−
:::::::Om <math> f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} </math>
+
Om <math> {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) = 0 </math>
+
då <math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 </math>.
−
</big>
+
</big></div>
−
'''Bevis''':
+
  
−
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = c\, </math> kan vi skriva:
 
  
−
:::::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; {0 \over h} \; = \; 0 </math>
+
'''Exempel:'''
  
−
Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man preciserar definitonen: <math> f(x) = c\, </math> för <u>alla</u> <math> x\, </math>. Dvs funktionen <math> f(x)\, </math>:s värde är alltid konstanten <math> c\, </math> oavsett vilket <math> x\, </math> man använder i <math> f(x)\, </math>, även om <math> x\, </math> är ett uttryck, i det här fallet <math> x+h\, </math>.
+
För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} </math> blir derivatan:
  
 +
:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 </math>
  
−
'''Exempel''':
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
  
−
För funktionen <math> f(x) = 4\, </math> blir derivatan:
 
−
 
−
::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = {4 \, - \, 4 \over h} = {0 \over h} = 0 </math>
 
  
 
== Derivatan av en linjär funktion ==
 
== Derivatan av en linjär funktion ==
  
−
'''Påstående''':<big>
+
'''Regel:'''
−
::::En linjär funktions derivata är konstant, närmare bestämt:
+
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
  
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm och} \quad k = {\rm const. } \quad m = {\rm const.} </math>
+
Om <math> f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; k </math>
+
då <math> f\,'(x) \; = \; k </math>
−
</big>
+
</big></div>
−
'''Bevis''':
+
  
−
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = k\cdot x + m </math> kan vi skriva:
 
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k </math>
+
'''Exempel:'''
  
 +
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan:
  
−
Att <math> f(x+h) = k\cdot (x+h) + m </math> inser man om man i funktionen <math> f(x)= k\cdot x + m </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>.
+
:::::<math> f\,'(x) = -8 </math>
  
 +
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
  
−
'''Exempel''':
 
  
−
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan:
+
== Derivatan av en kvadratisk funktion ==
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 </math>
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b>
  
−
== Derivatan av en kvadratisk term ==
+
Om <math> f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
  
−
Vi börjar med den rena kvadratiska termen <math> x^2\, </math> och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.
+
då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
 +
</big></div>
  
−
'''Påstående''':<big>
 
−
::::En kvadratisk terms derivata är linjär, närmare bestämt:
 
  
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; x^2 </math>
+
* '''Exempel 1:'''
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,x </math>
+
:För funktionen <math> f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan:
−
</big>
+
−
'''Bevis''':
+
  
−
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = x^2\, </math> kan vi skriva:
+
::::::<math> f\,'(x) = 10\,x - 3 </math>
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
+
* '''Exempel 2:'''
  
 +
:För funktionen &nbsp; <math> f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan:
  
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,x + h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = 2\,x </math>
+
::::::<math> f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x + 16 = - 50\,x + 16 </math>
  
 +
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
  
−
Att <math> f(x+h) = (x+h)^2\, </math> inser man om man i funktionen <math> f(x)= x^2\, </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>.
 
  
−
----
+
== Derivatan av en potensfunktion ==
  
 +
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b>
  
 +
::::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
  
−
Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför <math> x^2\, </math> t.ex. <math> 5\,x^2\, </math>?
+
::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
  
−
'''Påstående''':<big>
+
</big></div>
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; a\, x^2 \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.}</math>
+
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,\,a\,x </math>
+
Denna regel gäller för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
−
</big>
+
−
'''Bevis''':
+
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x+h)^2 - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,a\,x\,h + a\,h^2 \over h} = </math>
+
<strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte står ensam utan bildar i kombination med potensen <math> x\,^n </math> produkten <math> a \cdot x\,^n </math>. Konstanten <math> a\, </math> står som en faktor framför potensen, se regeln för  [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
  
 +
'''Exempel:'''
  
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,a\,x + a\,h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,a\,x + a\,h) = 2\,a\,x </math>
+
För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
  
 +
:::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
  
−
Att <math> f(x+h) = a\,(x+h)^2\, </math> inser man om man i funktionen <math> f(x)= a\,x^2\, </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>.
+
'''Specialfall''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:
  
  
−
'''Exempel''':
+
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en potens:</b>
  
−
För funktionen <math> f(x) = -25\,x^2 </math> blir derivatan:
+
Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
  
−
:::<math> f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x = - 50\,x </math>
+
då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
  
−
== Derivatan av potensfunktioner ==
+
</big></div>
  
−
Även här börjar vi med den rena termen <math> x^n\, </math> och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.
 
  
 +
* '''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
  
−
<big>
+
:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm och} \quad n = {\rm const. } \quad  </math>
+
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
+
::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
−
</big>
+
  
 +
* '''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
  
−
Denna regel gäller för <u>alla</u> <math> n\, </math>, dvs inte bara när <math> n\, </math> är att positivt utan även ett negativt heltal, ja t.o.m. när <math> n\, </math> är ett bråktal.
+
:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
  
−
Eftersom beviset kräver att man utvecklar uttrycket <math> f(x) = (x+h)\,^n </math> för alla positiva och negativa heltal <math> n\, </math> och dessutom för bråktal kan vi inte genomföra beviset, för våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
+
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens:
  
−
Regeln ovan kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi bevisat hittills är specialfall av denna allmänna regel för derivering av en potens. Vi börjar med exempel som har positiva heltalsexponenter och kommer att senare ta upp negativa heltalsexponenter samt bråktal i exponenten.
+
:::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
  
−
'''Exempel''':
+
:Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
  
−
För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
+
:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
  
−
:::<math> f\,'(x) \, = 5\,x^4 </math>
+
* '''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
  
−
----
+
:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
  
 +
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens:
  
−
Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför <math> x^n\, </math> t.ex. <math> 12\,x^n\, </math>?
+
:::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
  
 +
:Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
  
−
<big>
+
:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm och} \quad n = {\rm const. } \quad a = {\rm const.} </math>
+
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
+
:Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket <math> (x\,+\,h)\,^n </math> för alla rationella tal <math> n\, </math> kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
−
</big>
+
  
  
−
'''Exempel''':
+
== Derivatan av en summa av funktioner ==
  
−
För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b>
  
−
:::<math> f\,'(x) \, = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
+
:::Om <math> y    =  f(x) + g(x)\, </math>
  
−
== Derivatan av polynomfunktioner ==
+
:::då <math> y\,'  = f\,'(x) + g\,'(x) </math>
  
−
Hittills har vi betraktat isolerade termer. Men hur blir det om de summeras med varandra och på så sätt sammansätts till ett polynom?
+
</big></div>
  
−
För att besvara denna fråga anmärker vi utan bevis följande regel för derivering av en summa av funktioner:
 
  
 +
'''Exempel 1''':
  
−
<big>
+
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} </math> blir derivatan:
−
::::En summa av funktioner deriveras termvis, dvs:
+
  
−
::::::Om <math> y     = f(x) + g(x)\, </math>
+
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
  
−
::::::då <math> y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>
+
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
−
</big>
+
  
−
'''Exempel''':
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
  
−
För funktionen <math> f(x) = 8\,x^2 + 5\,x^6 </math> blir derivatan:
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
  
−
:::<math> f\,'(x) \, = 2\cdot 8\,x + 6\cdot 5\,x^5 = 16\,x + 30\,x^5 </math>
+
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
  
−
Regeln kan utvidgas till summor av fler än två termer och gäller för summor med ändligt antal termer, t.ex. för polynom. Vi använder den nu för det här ändamålet:
+
'''Exempel 2:'''
  
 +
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
  
−
<big>
+
:::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
−
::::En polynomfunktion deriveras termvis, dvs:
+
  
−
::::::Om <math> f(x)    = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a </math>
+
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
  
−
::::::då <math> f\,'(x) =  n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 </math>
+
 
−
</big>
+
== Derivatan av en funktion med en konstant faktor ==
 +
 
 +
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
 +
 
 +
::Om <math> y    =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
 +
 
 +
::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
 +
 
 +
</big></div>
  
  
 
'''Exempel''':
 
'''Exempel''':
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
+
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} </math> blir derivatan:
  
−
:::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
+
:::::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
  
 +
Även här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]], nämligen:
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = {1 \over 2}\,x^4\,+\,{5 \over 6}\,x^3\,-\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 </math> blir derivatan:
+
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
  
−
:::::<math> f\,'(x) \, = 2\,x^3 + {5 \over 2}\,x^2 - 1,6\,x + 12 </math>
 
  
−
== Derivatan av 1 / x ==
+
== Konstant faktor vs. additiv konstant ==
  
 +
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
  
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
  
−
== Derivatan av Roten ur x ==
+
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">additiv konstant</span></strong> i funktionsuttrycket.
  
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></strong>]].
 +
 +
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></strong>]].
 +
 +
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
 +
 +
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
 +
 +
Om <math> {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
 +
 +
då <math> {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
 +
</big></div>
 +
 +
 +
'''Exempel:'''
 +
 +
För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
 +
 +
:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
 +
 +
Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen:
 +
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 +
 +
 +
== Produkt och kvot av funktioner ==
 +
 +
Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
 +
 +
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
 +
 +
'''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
 +
 +
:'''Exempel:'''
 +
 +
:::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
 +
 +
:::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
 +
:'''Rätt:'''
 +
 +
:::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>
 +
 +
:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 +
 +
'''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
 +
 +
:'''Exempel:'''
 +
 +
:::<math> y \,=\, \displaystyle {1 \over x} </math>
 +
 +
:::<math> y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 </math>
 +
 +
:'''Rätt:'''
 +
 +
:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 +
 +
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
 +
 +
 +
== Tabell över deriveringsregler ==
 +
 +
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
 +
 +
:::::{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \displaystyle {1 \over x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle - {1 \over x^2} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
 +
|}
 +
 +
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.
 +
 +
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]].
  
  
−
----
 
  
−
== Deriveringstabell ==
 
  
 
== Internetlänkar ==
 
== Internetlänkar ==
−
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
+
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
 +
 
 +
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
 
  
−
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 10 november 2014 kl. 11.57

       <-- Förra avsnitt          Teori          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt -->      


Lektion 19 Deriveringsregler I

Lektion 20 Deriveringsregler II


Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant

Regel:

Derivatan av en konstant är 0.

Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).


Exempel:

För funktionen \( {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en linjär funktion

Regel:

Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)


Exempel:

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = -8 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en kvadratisk funktion

Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.

Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)


  • Exempel 1:
För funktionen \( f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = 10\,x - 3 \]
  • Exempel 2:
För funktionen   \( f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90\) blir derivatan:
\[ f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x + 16 = - 50\,x + 16 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en potensfunktion

Regel:

Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.

Om \( f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)

Denna regel gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.

Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är \( 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte står ensam utan bildar i kombination med potensen \( x\,^n \) produkten \( a \cdot x\,^n \). Konstanten \( a\, \) står som en faktor framför potensen, se regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor.

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 12\,x^4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

Specialfall     \( a \,=\, \)\( 1\, \)     ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:


Derivatan av en potens:

Om \( f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)


  • Exempel 1     \( n \,=\, \) positivt heltal:
För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]
  • Exempel 2     \( n \,=\, \) negativt heltal:
Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens:
\[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]
Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln för derivatan av en potens och får:
\[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]
  • Exempel 3     \( n \,=\, \) bråktal:
Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:
\[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]
Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln för derivatan av en potens och får:
\[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket \( (x\,+\,h)\,^n \) för alla rationella tal \( n\, \) kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.


Derivatan av en summa av funktioner

Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis:

Om \( y = f(x) + g(x)\, \)
då \( y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)


Exempel 1:

För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:

Derivatan av   \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)   och
Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).

Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.

Exempel 2:

För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]

Se även Derivatan av ett polynom.


Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)


Exempel:

För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]

Även här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 3, nämligen:

Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).


Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen     \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \)   en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \)   enligt regeln om derivatan av en funktion med en konstant faktor.

I funktionen     \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \)   enligt regeln om derivatan av en konstant.

Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av   \( a\cdot f(x) \)   blir   \( 0\cdot f\,'(x) \)   och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:

Regel:

Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).

Om \( {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).


Exempel:

För funktionen \( {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]

Här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 2, nämligen:

Derivatan av   \( y = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)


Produkt och kvot av funktioner

Regeln om Derivatan av en summa av funktioner säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:

1)   En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.

Exempel:
\[ y = x \cdot \sqrt x \]
\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Rätt:
\[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
\[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]

2)   Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.

Exempel:
\[ y \,=\, \displaystyle {1 \over x} \]
\[ y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 \]
Rätt:
\[ y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} \]

Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.


Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:

\( y\, \) \( y\,' \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.



Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related




Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=2.5_Deriveringsregler&oldid=17293"