Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(534 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[2.4 Deriveringsregler|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|<-- Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.4 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Teori]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
 +
 +
[[Media: Lektion 19 Deriveringsregler I Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 19 Deriveringsregler I</span></strong>]]
 +
 +
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
 +
 +
__TOC__
 +
 +
 +
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
  
 
== Derivatan av en konstant ==
 
== Derivatan av en konstant ==
  
−
Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>.
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b>
  
−
Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 \cdot</math> <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
Om <math> {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
−
::::<math> a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
−
För negativa heltalexponenter kan potensen <math> a^{-x}\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 /\,</math> <span style="color:red">upprepad division</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger:
+
−
::::<math> a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} </math>
+
−
Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 dvs <math> {a \over 1} </math> och ersätter i uttrycket ovan divisionerna med a med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket <math> {1 \over a} </math>, kan man skriva om uttrycket ovan så här:
+
−
::::<math> a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Vi får följande formel för potenser med negativa heltalexponenter:
+
−
::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math>
+
−
Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
+
−
::::<math> a^2 = a \cdot a </math>
+
  
−
::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math>
+
då <math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 </math>.
 +
</big></div>
  
−
::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math>
 
  
−
::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math>
+
'''Exempel:'''
  
−
----
+
För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} </math> blir derivatan:
  
−
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
+
:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 </math>
  
−
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].  
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>.
 
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>.
+
== Derivatan av en linjär funktion ==
  
−
:::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>.
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
  
−
:::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>.
+
Om <math> f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
  
−
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
+
då <math> f\,'(x) \; = \; k </math>
 +
</big></div>
  
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                      \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8}                    \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
−
Alternativt (med bråktal som exponent):
 
−
::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8  \qquad  & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
 
−
                  (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
              x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3}                  \\
 
−
                                  x  & = 2                              \\
 
−
                  \end{align}</math>
 
  
−
Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
+
'''Exempel:'''
  
−
== Derivatan av en linjär funktion ==
+
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan:
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
+
:::::<math> f\,'(x) = -8 </math>
  
−
'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
 
  
−
'''Bevis''':
+
== Derivatan av en kvadratisk funktion ==
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b>
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
+
Om <math> f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
  
−
----
+
då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
 +
</big></div>
  
−
'''Påstående (Nollte potens)''':
 
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
+
* '''Exempel 1:'''
  
−
'''Bevis''':
+
:För funktionen <math> f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan:
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
+
::::::<math> f\,'(x) = 10\,x - 3 </math>
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
+
* '''Exempel 2:'''
  
−
----
+
:För funktionen &nbsp; <math> f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan:
  
−
'''Påstående (Rationell exponent)''':
+
::::::<math> f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x + 16 = - 50\,x + 16 </math>
  
−
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
  
−
'''Bevisidé''':
 
  
−
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+
== Derivatan av en potensfunktion ==
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b>
  
−
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
+
::::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
  
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
+
::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
  
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
+
</big></div>
  
−
== Derivatan av en potens ==
+
Denna regel gäller för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
  
−
a
+
<strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte står ensam utan bildar i kombination med potensen <math> x\,^n </math> produkten <math> a \cdot x\,^n </math>. Konstanten <math> a\, </math> står som en faktor framför potensen, se regeln för  [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
  
−
----
+
'''Exempel:'''
  
−
== Derivatan av 1 / x ==
+
För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
  
−
a
+
:::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
  
−
----
+
'''Specialfall''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:
 +
 
 +
 
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en potens:</b>
 +
 
 +
Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
 +
 
 +
då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
 
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
* '''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
 +
 
 +
:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
 +
 
 +
::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
 +
 
 +
* '''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
 +
 
 +
:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
 +
 
 +
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens:
 +
 
 +
:::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
 +
 
 +
:Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
 +
 
 +
:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
 +
 
 +
* '''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
 +
 
 +
:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
 +
 
 +
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens:
 +
 
 +
:::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
 +
 
 +
:Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
 +
 
 +
:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
:Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket <math> (x\,+\,h)\,^n </math> för alla rationella tal <math> n\, </math> kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
 +
 
 +
 
 +
== Derivatan av en summa av funktioner ==
 +
 
 +
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b>
 +
 
 +
:::Om <math> y    =  f(x) + g(x)\, </math>
 +
 
 +
:::då <math> y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 +
 
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
'''Exempel 1''':
 +
 
 +
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
 +
 
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
 +
 
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
 +
 
 +
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
 +
 
 +
'''Exempel 2:'''
 +
 
 +
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
 +
 
 +
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
 +
 
 +
 
 +
== Derivatan av en funktion med en konstant faktor ==
 +
 
 +
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
 +
 
 +
::Om <math> y    =  a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
 +
 
 +
::då <math> y\,'  =  a\cdot f\,'(x) </math>
 +
 
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
'''Exempel''':
 +
 
 +
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
Även här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]], nämligen:
 +
 
 +
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
 +
 
 +
 
 +
== Konstant faktor vs. additiv konstant ==
 +
 
 +
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
 +
 
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
 +
 
 +
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">additiv konstant</span></strong> i funktionsuttrycket.
 +
 
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></strong>]].
 +
 
 +
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></strong>]].
 +
 
 +
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
 +
 
 +
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
 +
 
 +
Om <math> {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
 +
 
 +
då <math> {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
'''Exempel:'''
 +
 
 +
För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
 +
 
 +
Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen:
 +
 
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 +
 
 +
 
 +
== Produkt och kvot av funktioner ==
 +
 
 +
Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
 +
 
 +
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
 +
 +
'''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
 +
 
 +
:'''Exempel:'''
 +
 
 +
:::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
 +
 
 +
:::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
 
 +
:'''Rätt:'''
 +
 +
:::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>
 +
 
 +
:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 +
 
 +
'''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
 +
 
 +
:'''Exempel:'''
 +
 
 +
:::<math> y \,=\, \displaystyle {1 \over x} </math>
 +
 
 +
:::<math> y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 </math>
 +
 
 +
:'''Rätt:'''
 +
 
 +
:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
 +
 
 +
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
 +
 
 +
 
 +
== Tabell över deriveringsregler ==
 +
 
 +
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
 +
 
 +
:::::{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \displaystyle {1 \over x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle - {1 \over x^2} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
 +
|}
 +
 
 +
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.
 +
 
 +
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]].
  
−
== Derivatan av Roten ur x ==
 
  
−
a
 
  
−
----
 
  
 
== Internetlänkar ==
 
== Internetlänkar ==
−
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
+
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
 +
 
 +
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
 
  
−
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 10 november 2014 kl. 11.57

       <-- Förra avsnitt          Teori          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt -->      


Lektion 19 Deriveringsregler I

Lektion 20 Deriveringsregler II


Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant

Regel:

Derivatan av en konstant är 0.

Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).


Exempel:

För funktionen \( {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en linjär funktion

Regel:

Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)


Exempel:

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = -8 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en kvadratisk funktion

Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.

Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)


  • Exempel 1:
För funktionen \( f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = 10\,x - 3 \]
  • Exempel 2:
För funktionen   \( f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90\) blir derivatan:
\[ f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x + 16 = - 50\,x + 16 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en potensfunktion

Regel:

Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.

Om \( f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)

Denna regel gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.

Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är \( 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte står ensam utan bildar i kombination med potensen \( x\,^n \) produkten \( a \cdot x\,^n \). Konstanten \( a\, \) står som en faktor framför potensen, se regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor.

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 12\,x^4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

Specialfall     \( a \,=\, \)\( 1\, \)     ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:


Derivatan av en potens:

Om \( f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)


  • Exempel 1     \( n \,=\, \) positivt heltal:
För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]
  • Exempel 2     \( n \,=\, \) negativt heltal:
Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens:
\[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]
Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln för derivatan av en potens och får:
\[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]
  • Exempel 3     \( n \,=\, \) bråktal:
Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:
\[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]
Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln för derivatan av en potens och får:
\[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket \( (x\,+\,h)\,^n \) för alla rationella tal \( n\, \) kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.


Derivatan av en summa av funktioner

Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis:

Om \( y = f(x) + g(x)\, \)
då \( y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)


Exempel 1:

För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:

Derivatan av   \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)   och
Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).

Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.

Exempel 2:

För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]

Se även Derivatan av ett polynom.


Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)


Exempel:

För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]

Även här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 3, nämligen:

Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).


Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen     \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \)   en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \)   enligt regeln om derivatan av en funktion med en konstant faktor.

I funktionen     \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \)   enligt regeln om derivatan av en konstant.

Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av   \( a\cdot f(x) \)   blir   \( 0\cdot f\,'(x) \)   och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:

Regel:

Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).

Om \( {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).


Exempel:

För funktionen \( {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]

Här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 2, nämligen:

Derivatan av   \( y = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)


Produkt och kvot av funktioner

Regeln om Derivatan av en summa av funktioner säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:

1)   En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.

Exempel:
\[ y = x \cdot \sqrt x \]
\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Rätt:
\[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
\[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]

2)   Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.

Exempel:
\[ y \,=\, \displaystyle {1 \over x} \]
\[ y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 \]
Rätt:
\[ y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} \]

Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.


Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:

\( y\, \) \( y\,' \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.



Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related




Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=2.5_Deriveringsregler&oldid=17293"