Lös följande rotekvationer:

a) \( {\color{White} x} \sqrt{x} = 9 \)

b) \( {\color{White} x} \sqrt{x} = - 9 \)

c) \( {\color{White} x} 5 - \sqrt{x} = 1 \)

Lös följande ekvationer med den metod som förklaras i teoridelen.

a) \( {\color{White} x} 2 \,\cdot \, \sqrt{x} - x = 1 \)

b) \( {\color{White} x} x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 \)

c) \( {\color{White} x} 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} = -9 \)

Lös följande rotekvationer:

a) \( {\color{White} x} x = \sqrt{x+7} - 1 \)

b) \( {\color{White} x} {x + \sqrt{x} \over 7} \) \( = 6 \)

c) \( {\color{White} x} 2\,(x + 8) = 9\,\sqrt{4\,x} \)

Lös rotekvationen

a) \( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)

b) Rita graferna till funktionerna \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) och \( y_2 = x - 3\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -10, Xmax = 10, Xscl = 2, Ymin = -10, Ymax = 10, Yscl = 2. Motivera ditt svar i a) med hjälp av graferna.

c) Rita graferna till funktionerna \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) och \( y_2 = (x - 3)^2\, \) i ett och samma koordinatsystem. Använd följande inställningar för WINDOW i din grafritande räknare: Xmin = -3, Xmax = 6, Xscl = 1, Ymin = 0, Ymax = 10, Yscl = 1. Tolka resultatet.

a) Modifiera rotekvationen

\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)

i övning 4 så att den får en lösning genom att titta på grafen som du (förhoppningsvis) ritade i övning 4b. Rita graferna till funktionerna på bägge leden av den modifierade rotekvationen i ett och samma koordinatsystem så att man ser lösningen grafiskt. Använd samma inställningar för WINDOW i din grafritande räknare som i övning 4b.

b) Lös den modifierade rotekvationen algebraiskt. Ange svaret med 2 decimalers noggrannhet.

Lös ekvationen

\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)

Lös följande ekvation, som är samma som i övning 2a, här med substitutionen \( t = \sqrt{x} \).

\( 2\,\sqrt{x} - x = 1 \)

Lös följande ekvation och ange svaret med två decimaler\[ x\,\sqrt{x}\, + 4 = 8 \]

Lös följande rotekvation exakt\[ 2 = - { x \over \sqrt{1-x^2} } \]

Lös följande ekvation exakt genom att använda en lämplig substitution\[ {1 \over x} = 306 - {1 \over \sqrt{x}} \]

Lös följande 4:e gradsekvation med en lämplig substitution\[ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2}\,-\,(x^2 + 4\,x + 1) \]

Lös ekvationen

\( \sqrt{ x + 2 + \sqrt{2\;x + 7}} = 4 \)

Övning 13

Svar 13 Lösning 13

Svar 13

1.1 Svar 13

  Hämtar...

Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Lösning 13

1.1 Lösning 13

  Hämtar...

Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Facit

1a)

\( \displaystyle 81 \)

1b)

Ekvationen saknar lösning.

1c)

\( x = 16\, \)

2a)

\( x = 1\, \)

2b)

\( x = 1\, \)

2c)

\( x = 0\, \)

3a)

\( x = 2\, \)

3b)

\( x = 36\, \)

3c)

\( x_1 = 64\, \)

\( x_2 = 1\, \)

4a)

Ekvationen saknar lösning.

4b)

Graferna till \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) och \( \displaystyle y_2 = x - 3 \) ritade i samma koordinatsystem:

Bilden visar att kurvan \( y_1 = \sqrt{x^2 + 1} \) (blå) och linjen \( \displaystyle y_2 = x - 3 \) (grön) inte skär varandra. Dvs de har ingen gemensam punkt där deras funktionsvärden överensstämmer.

Detta bekräftar att ekvationen

\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)

saknar lösning vilket visades i lösningen till övning 4a.

4c)

Graferna till \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) och \( \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 \) ritade i samma koordinatsystem:

Bilden visar att kurvorna \( \displaystyle y_1 = x^2 + 1 \) (blå) och \( \displaystyle y_2 = (x - 3)^2 \) (grön) skär varandra i en punkt. Detta innebär att ekvationen

\( \displaystyle x^2 + 1 = (x - 3)^2 \)

har en lösning som kan avläsas från grafen till ca. \( \displaystyle x \approx 1,3 \). Men denna ekvation uppstår när man kvadrerar den ursprungliga rotekvationen

\( \sqrt{x^2 + 1} = x - 3 \)

Dvs den kvadrerade ekvationen har en lösning som är den ursprungliga rotekvationens falska rot som är exakt \( \displaystyle x = {4 \over 3} \) vilket visades i lösningen till övning 4a.

5a)

Den modifierade ekvationen är\[ \sqrt{x^2 + 1} = 3\,x - 3 \]

5b)

\( x = 1,64\, \)

6)

Ekvationen

\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)

har lösningarna\[ x_1 = 5\, \]

\( x_2 = -5\, \)

\( x_3 = 2\, \)

\( x_4 = -2\, \)

7)

\( x = 1\, \)

8)

\( x = 2,52\, \)

9)

\( x = - \; { 2 \over \sqrt{5} } \)

10)

\( x = {1 \over 289} \)

11)

\( x_1\, = 0 \)

\( x_2\, = -4 \)

\( x_3\, = -2 \)

12)

\( x = 9\, \)

13)

\( x = -{1 \over 4} \)