Skillnad mellan versioner av "Exponentialfunktioner och logaritmer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(→‎Exponentialfunktioner & exponentialekvationer)
m
 
(72 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.6 Logaritmer|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|<-- Tillbaka till Talet e]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.6 Övningar till Logaritmer|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[Exponentialfunktioner och logaritmer|Teori]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Övningar till Exponentialfunktioner och logaritmer|Övningar]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion 10 Logaritmer.pdf|Lektion 10 Logaritmer]]
+
<!-- [[Media: Lektion 10 Logaritmer.pdf|Lektion 10 Logaritmer]] -->
 +
__NOTOC__
 +
== Exponentialfunktioner ==
  
−
== Exponentialfunktioner & exponentialekvationer ==
+
Logaritm är ett annat ord för exponent.
 +
 
 +
Vi börjar med ett inledande exempel på sådana funktioner som har sin oberoende variabel x i exponenten. Sådana funktioner heter exponentialfunktioner.
  
 
[[Image: Exponentialfunktioner.jpg]]
 
[[Image: Exponentialfunktioner.jpg]]
  
−
== Logaritmbegreppet ==
+
== Logaritmen till basen 10 (10-logaritmen) ==
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger:
+
[[File: 118_10-logaritmen_40.jpg]]
  
−
[[Image: Potenslagarna_70a.jpg]] [[Image: Potens_Ex_60.jpg]]
+
== Exponentialekvationer ==
 +
Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>.
  
−
'''Påstående (Produkt av potenser med samma bas)''':
+
Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . 
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} </math>
+
::Funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt <math> {\color{White} x} y = c \cdot a^x\, </math>.
  
−
'''Bevis''':
+
::Ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> kallas <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt <math> {\color{White} x} a^x\, = b </math>.
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:
+
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten, medan i potensfunktioner och -ekvationer x förekommer i basen. Medan [[1.5_Potenser#Potensekvationer|potensekvationer]] löses genom rotdragning, löses exponentialekvationer genom <span style="color:red">logaritmering</span>.
  
−
:::::<math> a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} </math>
 
  
−
----
+
== Logaritmer till olika baser (Byte av bas) ==
 +
[[File: 123_Logaritmer_med_olika_baser_40.jpg]]
  
−
'''Påstående (Nollte potens)''':
+
<big>'''Om [[1.7 Logaritmlagarna|logaritmlagar.]] se nästa avsnitt.'''</big>
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; 1 </math>
 
  
−
'''Bevis''':
 
  
−
Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:
+
== Internetlänkar ==
 +
http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU
  
−
:::::<math> a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 </math>
+
http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html
  
−
----
+
http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html
  
−
'''Påstående (Rationell exponent)''':
+
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
−
 
+
−
:::::<math> a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math>
+
−
 
+
−
'''Bevisidé''':
+
−
 
+
−
Vi tar specialfallet <math> m=1 </math> och <math> n=3 </math>, multiplicerar <math> a^{1 \over 3} </math> tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:
+
−
 
+
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math>
+
−
 
+
−
Definitionen för 3:e roten ur a är: <math>\sqrt[3]{a} = </math> Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just <math> a^{1 \over 3} </math>. Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:
+
−
 
+
−
:::::<math> a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math>
+
−
 
+
−
Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal <math> m\, </math> och <math> n\neq 0 </math>.
+
−
 
+
−
== Blandade exempel ==
+
−
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]
+
−
 
+
−
----
+
−
 
+
−
[[Image: Potens_Ex_2.jpg]]
+
−
 
+
−
----
+
−
 
+
−
[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]
+
−
 
+
−
== Internetlänkar ==
+
−
http://www.matematikvideo.se/video.php?id=36
+
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 
  
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
 
  
−
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2011 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 27 januari 2016 kl. 10.49

       <-- Tillbaka till Talet e          Teori          Övningar      


Exponentialfunktioner

Logaritm är ett annat ord för exponent.

Vi börjar med ett inledande exempel på sådana funktioner som har sin oberoende variabel x i exponenten. Sådana funktioner heter exponentialfunktioner.

Fil:Exponentialfunktioner.jpg

Logaritmen till basen 10 (10-logaritmen)

Fil:118 10-logaritmen 40.jpg

Exponentialekvationer

Själva aktionen \( a^x\, \) dvs att ta \( a\, \) upphöjt till \( x\, \) kallas exponentiering och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om kvadrering.

Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = 10^x\, \) kallas exponentialfunktioner, generellt \( {\color{White} x} y = c \cdot a^x\, \).
Ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) kallas exponentialekvationer, generellt \( {\color{White} x} a^x\, = b \).

I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten, medan i potensfunktioner och -ekvationer x förekommer i basen. Medan potensekvationer löses genom rotdragning, löses exponentialekvationer genom logaritmering.


Logaritmer till olika baser (Byte av bas)

Fil:123 Logaritmer med olika baser 40.jpg

Om logaritmlagar. se nästa avsnitt.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU

http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html

http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer



Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=Exponentialfunktioner_och_logaritmer&oldid=22480"