Skillnad mellan versioner av "1.1 Definition, sats och bevis"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) (Skapade sidan med '__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Not selected tab|Huvudsida|...') |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (26 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 6: | Rad 6: | ||
{{Selected tab|[[1.1 Definition, sats och bevis|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[1.1 Definition, sats och bevis|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Definition, sats och bevis|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Definition, sats och bevis|Övningar]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[1.2 | + | {{Not selected tab|[[1.2 Delbarhet och primtal|Nästa avsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
= <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> = | = <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> = | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | <big><big> | + | <big> |
| − | <b><span style="color:red">Definition</span></b> återger ett begrepps betydelse och ger svar på frågan: "Vad är ... ?". | + | <big><b><span style="color:red">Definition</span></b></big> återger ett begrepps betydelse och ger svar på frågan: "Vad är ... ?". |
| + | </big> | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | Ex. 1: Vad är en ekvation? | ||
| − | + | ::En <b>ekvation</b> är en likhet mellan två algebraiska uttryck med en obekant, t.ex. <math>3 + x = 2\,x</math>. | |
| − | : | + | ::En ekvation <b>löser man</b>, dvs hittar ett värde för obekanten som satisfierar ekvationen. |
| − | : | + | Ex. 2: Vad är en funktion? |
| − | En | + | ::En <b>funktion</b> är ett samband (en relation) mellan två variabler, t.ex. <math>y = 4\,x - 5</math>. |
| − | En | + | ::En funktion beskrivs med en formel (ovan), en tabell eller en graf (visualisering), för att studera sambandet. |
| − | Därför är | + | Ex. 3, se nästa avsnitt: [[1.2 Delbarhet och primtal|<b><span style="color:blue">Vad är ett primtal?</span></b>]] |
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <big> | ||
| + | En definition är ett verktyg i kommunikationen, <b>förutsättningen</b> för en meningsfull kommunikation. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | En definition är en <b>överenskommelse</b> mellan begreppets användare. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Därför kan en definition inte vara sann eller falsk. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Definitioner är i princip godtyckliga och kan <b>inte bevisas</b>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | "Ett begrepps definition bestäms först när det <b>används</b> i en konkret situation" (Wittgenstein). | ||
| − | |||
Samtidigt ska en definition helst vara <b>generell</b>, dvs passa till alla situationer. | Samtidigt ska en definition helst vara <b>generell</b>, dvs passa till alla situationer. | ||
| − | + | </big> | |
</div> | </div> | ||
| Rad 37: | Rad 56: | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
<big><big> | <big><big> | ||
| − | <b><span style="color:red">Sats</span></b> är en utsaga eller ett påstående som är sant eller falskt. | + | <big><b><span style="color:red">Sats</span></b></big> är en utsaga eller ett påstående som är sant eller falskt. |
Ex.: | Ex.: | ||
| Rad 51: | Rad 70: | ||
Det finns matematiska satser som <b><span style="color:red">inte har bevisats</span></b> hittills. Man antar att de är sanna, så länge de inte motbevisats. | Det finns matematiska satser som <b><span style="color:red">inte har bevisats</span></b> hittills. Man antar att de är sanna, så länge de inte motbevisats. | ||
| − | Det finns självklara matematiska satser som <b><span style="color:red">inte behöver bevisas</span></b>. De kallas för <b><span style="color:red">axiom</span></b>. | + | Det finns självklara matematiska satser som <b><span style="color:red">inte behöver bevisas</span></b>. De kallas för <b><span style="color:red">axiom</span></b>. |
| − | Parallella räta linjer skär aldrig varandra. Eller: Genom två punkter går exakt en rät linje. | + | Ex.: Parallella räta linjer skär aldrig varandra. Eller: Genom två punkter går exakt en rät linje. |
</big></big> | </big></big> | ||
</div> | </div> | ||
| Rad 59: | Rad 78: | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| − | <big><big><b><span style="color:red">Bevis</span></b> är en följd av matematiska resonemang som genom logiska slutsatser leder till verifieringen av en sats. | + | <big><big> |
| + | <big><b><span style="color:red">Bevis</span></b></big> är en följd av matematiska resonemang som genom logiska slutsatser leder till verifieringen av en sats. | ||
| − | Ex.: | + | <b>Ex.:</b> [http://34.248.89.132:1808/index.php?title=5.5_Pythagoras_sats#Ett_bevis_av_Pythagoras_sats <b><span style="color:blue">Beviset för Pythagoras_sats</span></b>]. |
I ett bevis används ofta satser som redan bevisats tidigare. | I ett bevis används ofta satser som redan bevisats tidigare. | ||
| − | Bevis måste vara <b><span style="color:red">generella</span></b>, dvs satsen måste gälla i alla tänkbara situationer (exempel). | + | Bevis måste vara <b><span style="color:red">generella</span></b>, dvs satsen måste gälla i <b>alla</b> tänkbara situationer (situation = exempel). |
Däremot räcker <b><span style="color:red">ett exempel</span></b> för att motbevisa en sats. | Däremot räcker <b><span style="color:red">ett exempel</span></b> för att motbevisa en sats. | ||
Nuvarande version från 16 mars 2025 kl. 10.14
| << Kursbeskrivning | Innehållsförteckning | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Begreppsförklaringar
Definition återger ett begrepps betydelse och ger svar på frågan: "Vad är ... ?".
Ex. 1: Vad är en ekvation?
- En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck med en obekant, t.ex. \(3 + x = 2\,x\).
- En ekvation löser man, dvs hittar ett värde för obekanten som satisfierar ekvationen.
Ex. 2: Vad är en funktion?
- En funktion är ett samband (en relation) mellan två variabler, t.ex. \(y = 4\,x - 5\).
- En funktion beskrivs med en formel (ovan), en tabell eller en graf (visualisering), för att studera sambandet.
Ex. 3, se nästa avsnitt: Vad är ett primtal?
En definition är ett verktyg i kommunikationen, förutsättningen för en meningsfull kommunikation.
En definition är en överenskommelse mellan begreppets användare.
Därför kan en definition inte vara sann eller falsk.
Definitioner är i princip godtyckliga och kan inte bevisas.
"Ett begrepps definition bestäms först när det används i en konkret situation" (Wittgenstein).
Samtidigt ska en definition helst vara generell, dvs passa till alla situationer.
Sats är en utsaga eller ett påstående som är sant eller falskt.
Ex.:
- 1. Vinkelsumman i en triangel är 180 grader.
- 2. Om en triangel med sidorna a, b, c är rätvinklig, så gäller \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- 3. Om det gäller \( a^2 + b^2 = c^2 \) för en triangel med sidorna a, b, c, så är triangeln rätvinklig.
Satser kan bevisas (verifieras) eller motbevisas (falsifieras).
Det finns matematiska satser som inte har bevisats hittills. Man antar att de är sanna, så länge de inte motbevisats.
Det finns självklara matematiska satser som inte behöver bevisas. De kallas för axiom.
Ex.: Parallella räta linjer skär aldrig varandra. Eller: Genom två punkter går exakt en rät linje.
Bevis är en följd av matematiska resonemang som genom logiska slutsatser leder till verifieringen av en sats.
Ex.: Beviset för Pythagoras_sats.
I ett bevis används ofta satser som redan bevisats tidigare.
Bevis måste vara generella, dvs satsen måste gälla i alla tänkbara situationer (situation = exempel).
Däremot räcker ett exempel för att motbevisa en sats.
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.
