Skillnad mellan versioner av "Lösningar till diagnosprov 1 kap 1"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
| (En mellanliggande version av samma användare visas inte) | |
(Ingen skillnad)
| |
Nuvarande version från 30 april 2015 kl. 19.50
| Diagnosprov 1 kap 1 | Lösningar till diagnos 1 (PDF) | Innehållsförteckning kap 1 | Diagnosprov 2 kap 1 | Lösningar till diagnosprov 2 kap 1 |
Uppgift 1
a) Ange ett polynom i faktorform vars nollställen är \( \, 3 \, \) och \( \, 6 \, \).
b) Utveckla faktorformen från a) till ett polynom som en summa av termer.
Lösning:
Uppgift 2
Faktorisera följande polynom: \( \qquad {x^{2}}\; - \; 7 \; x \, \; + \; \,12 \, \)
Kontrollera din lösning.
Lösning:
Uppgift 3
Följande uttryck är givet: \( \qquad P(x) \; = \; 4\;{x^{3}}\; - \;\,2\;{x^2}\,(2\;x + \; \,6)\;\, + \;\,7\;x\,\,(3\; + \;2\;x) \, \)
a) Utveckla \( \; P(x) \; \) till ett polynom. Ange polynomets koefficienter och grad.
b) Använd polynomet från a) för att beräkna \( \; P(-1) \).
c) Bestäm alla nollställen till polynomet från a).
d) Faktorisera polynomet \( \; P(x) \). Kontrollera din lösning.
Lösning:
Uppgift 4
Förenkla så långt som möjligt: \( \qquad \displaystyle {5\,x \over 16} \, + \, {x \over 2} \, - \, {3\,x \over 4} \)
Lösning:
Uppgift 5
Förenkla det rationella uttrycket: \( \qquad \displaystyle \frac{{2\;{x^2}\; - \;8\;x}}{{{x^2}\; - \;16}} \)
Lösning:
Uppgift 6
Lös ekvationen exakt: \( \qquad\quad {e^{\;\ln x}}\; = \; - 2x + 3 \)
Lösning:
Uppgift 7
Lös ekvationen: \( \qquad\qquad\qquad {e^{\;x}} = 17 \)
Ange svaret med tre decimaler.
Lösning:
Uppgift 8
Följande funktion är given: \( \qquad\qquad \displaystyle f(x) \, = \, {x^2 - 3x - 4 \over x - 3} \, \)
a) Rita grafen till \( \, f(x) \).
b) För vilka \( \, x \, \) är \( \, f(x) \, \) kontinuerlig och för vilka är den inte kontinuerlig?
c) Ange de förekommande diskontinuiteternas typ. Motivera dina svar.
Lösning:
Uppgift 9
Lös ekvationen algebraiskt: \( \qquad\qquad \left| {x + 1} \right|\;\, + \;\,2\,x\;\, = \,\;3 \)
Lösning:
Fall 1: \( {\color{White} x} x + 1 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq -1 \)
Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 1 \, | = x + 1\, \) och ekvationen blir:
- \[\begin{align} x + 1 + 2\,x & = 3 \\ 3\,x + 1 & = 3 \\ 3\,x & = 3 - 1 \\ 3\,x & = 2 \\ x_1 & = {2 \over 3} \end{align}\]
Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x \geq -1 \).
Det stämmer att \( \displaystyle {2 \over 3} \geq -1 \). Därmed kan vi godta lösningen \( \displaystyle x_1 = {2 \over 3} \).
Fall 2: \( {\color{White} x} x + 1 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < -1 \)
Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 1 \, | = -(x + 1) = -x - 1\, \) och ekvationen blir:
- \[\begin{align} -\,x -1 + 2\,x & = 3 \\ x - 1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align}\]
Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x < -1 \).
Faktiskt är \( 4 \not< -1 \) utan det gäller \( 4 > -1 \). Därmed måste vi förkasta lösningen \( x_2 = 4 \) som är en falsk rot.
Ekvationen har endast lösningen:
- \[ x = {2 \over 3} \]
Uppgift 10
Lös följande ekvation exakt: \( \;\; \ln x = 1 + \ln \,(x - 1) \)
Lösning:
- \[\begin{align} \ln\,x & = 1 + \ln\,(x-1) \; & &\;| \; - \ln\,(x-1) \\ \ln\,x - \ln\,(x-1) & = 1 \; & &: \;\text{Logaritmlag 2 i VL} \\ \ln\,\left({x \over x-1}\right) & = 1 \; & &\;| \; e\,^{\cdot} \\ {x \over x-1} & = e \; & &\;| \; \cdot (x-1) \\ x & = e \cdot (x-1) \\ x & = e \cdot x - e \; & &\;| \; + e - x \\ e & = e \cdot x - x \; & &: \;\text{Bryt ut} \; x \;\text{i HL } \\ e & = x \cdot (e - 1) \; & &\;| \; / \; (e-1) \\ x & = {e \over e-1} \end{align}\]
Uppgift 11
Förenkla så långt som möjligt: \( \qquad \displaystyle {x \, - \, 1 \over 1\, - \,x} \; + \; {1\, + \,y \over y\, + \, 1} \)
Lösning:
Uppgift 12
Förenkla det rationella uttrycket: \( \qquad \displaystyle {{p\,z \, + \, 1} \over {p\,z \, + \, (p\,z)\,^2}} \)
Lösning:
Uppgift 13
Lös ut \( \, x \, \) från: \( \qquad \displaystyle{\frac{1}{2} - \frac{a}{x + 1} - 1 = 5 + \frac{1}{3} - \frac{b}{x + 1}} \)
Lösning:
Uppgift 14
På ett bankkonto har ett kapital på \( \, 100\,000 \, \) kr under \( \, 5 \, \) år vuxit till \( \, 190\,000\, \) kr.
a) Vilken räntesats per år hade kontot? Ange svaret med en decimal.
b) Vilken typ av ekvation blir det i a) och vilken operation löser ekvationen?
c) Använd räntesatsen från a) för att besvara frågan:
- Hur länge tar det tills startkapitalet tredubblats?
- Avrunda svaret till hela år och månader.
d) Vilken typ av ekvation blir det i c) och vilken operation löser ekvationen?
Lösning:
Uppgift 15
Bakterier i mjölk anses växa enligt modellen:
- \[ \, y = 10 \cdot e{\,^{0,5\,x}} \]
där \( \, y \, \) är antalet bakterier och \( \, x \, \) tiden i timmar.
a) Hur många bakterier finns det i mjölken i början?
b) Hur många bakterier kommer det att finnas i mjölken efter \( \, 8 \, \) timmar?
c) Efter hur många timmar och minuter blir mjölken sur?
- Mjölken anses vara sur när antalet bakterier har uppnått \( \, 1\,250 \).
Lösning:
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
