Skillnad mellan versioner av "Diagnosprov kap 2 Derivata"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (En mellanliggande version av samma användare visas inte) | |||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
|} | |} | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | == Uppgift 1 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Derivera funktionen <math> \qquad\qquad\qquad y \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 9\,x \, + \, 8 </math> | ||
| + | == Uppgift 2 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Vad blir <math> \; f\,'(-3) \; </math> om <math> \qquad\qquad\quad f(x) \, = \,\displaystyle{\frac{2\,x\,^4}{9} + \frac{x\,^3}{3}} </math> | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011- | + | == Uppgift 3 == |
| + | <br> | ||
| + | Ställ upp derivatan <math> \; f\,'(x) \; </math> om <math> \qquad f(x) \, = \,\displaystyle{2\,x \, + \, \frac{1}{x}} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 4 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Derivera funktionen <math> \qquad\qquad\qquad y \, = \,\displaystyle{\frac{5\,x}{12}\; + \;\sqrt x} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 5 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Vad blir <math> \; f\,'(1) \; </math> om <math> \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, 5\,e\,^x \, - \, 3 \, e^{-4\,x} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 6 == | ||
| + | <br> | ||
| + | För vilket x antar derivatan av följande funktion värdet <math> \, 17 \, </math>? | ||
| + | |||
| + | ::::::::<math> y\; = \; 6\,^x </math> | ||
| + | |||
| + | Ange svaret avrundat till tre decimaler. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 7 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Ställ upp derivatan av följande funktion<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\displaystyle{ y\,= \,\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{ - x}}}}{2} } </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 8 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan | ||
| + | |||
| + | ::::<math> y \, = \, x^2 \, + \, 5\,x \, - \, 1 </math> | ||
| + | |||
| + | i punkten <math> \, - 1 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 9 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Temperaturen T i en kopp kaffe sjunker enligt modellen | ||
| + | |||
| + | ::::<math> T \, = \, 70 \cdot e^{-0,034\,t} \, + \, 35 </math> | ||
| + | |||
| + | där <math> \, t \, </math> är tiden i minuter efter att kaffet hällts i koppen. | ||
| + | |||
| + | Hur stor är avkylningshastigheten efter <math> \, 10 \, </math> minuter? | ||
| + | |||
| + | Ange svaret med två decimalers noggrannhet. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 10 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Vad blir <math> \, f\,'(4) \, </math> om <math> \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, \displaystyle{ x^3 \, + \, \frac{\sqrt x}{2}}</math> | ||
| + | |||
| + | Ange resultatet med tre decimaler. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 11 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Befolkningen i en småstad utvecklas under åren <math> \, 2\,000</math>-<math>2\,010 \, </math>enligt modellen | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> N \, = \, 25\,000 \cdot 0,98\,^t </math> | ||
| + | |||
| + | där <math> \, N \, </math> är antal personer och <math> \, t \, </math> är tiden i år räknad från <math> \, 2\,000 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | Ökar eller minskar befolkningen år <math> \, 2\,005 \, </math> och i så fall hur mycket per år? | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 12 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Värdet av en produkt minskar enligt | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> y \, = \, 225\,000 \cdot e\,^{-k\,x} </math> | ||
| + | |||
| + | där <math> \, y \, </math> är värdet i kr, <math> \, x \, </math> produktens ålder i år och <math> \, k \, </math> en konstant. | ||
| + | |||
| + | Bestäm k så att värdet är <math> \, 100\,000 \, </math> kr efter <math> \, 5 \, </math> år. | ||
| + | |||
| + | Med hur många kr minskar värdet per år då <math> \, x = 5 \, </math>? | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 13== | ||
| + | <br> | ||
| + | Antalet bakterier <math> \, N \, </math> i en bakteriekultur följer funktionen | ||
| + | |||
| + | :::::<math> N(t) \, = \, \frac{250}{1 + 249 \cdot e\,^{-t}} </math> | ||
| + | |||
| + | där <math> \, t \, </math> är tiden i minuter. Ange bakteriernas tillväxthastighet efter <math> \, 7 \, </math> minuter. | ||
| + | |||
| + | Fundera först om funktionen <math> \, N(t) \, </math> kan deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss hittills. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 14 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Bakterier i en liter mjölk växer enligt modellen: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> y \, = \, 10 \cdot 2\,^x </math> | ||
| + | |||
| + | där <math> \, y \, </math> är antal bakterier och <math> \, x \, </math> är tiden i timmar. | ||
| + | |||
| + | Efter hur många timmar har tillväxthastigheten i mjölken uppnått <math> \, 1\,000 \, </math> bakterier/timme? | ||
| + | |||
| + | Avrunda svaret till en decimal. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Uppgift 15 == | ||
| + | <br> | ||
| + | Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan | ||
| + | |||
| + | ::::<math> y \, = \, 2\,x^2 - \,3\,x\, - \,4 </math> | ||
| + | |||
| + | som är parallell till linjen | ||
| + | |||
| + | ::::::<math> \!\! y \, = \, x \, - \, 4 </math> | ||
| + | |||
| + | I vilken punkt tangerar (berör) tangenten kurvan? | ||
| + | |||
| + | Ange denna punkts koordinater. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_1_40a.jpg]] --> | ||
| + | <!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_2_40.jpg]] --> | ||
| + | <!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_3_40.jpg]] --> | ||
| + | <!-- [[Image: Diagnosprov Matte 3 kap 2_Sid_4_40.jpg]] --> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved. | ||
Nuvarande version från 30 april 2015 kl. 14.36
| Formelsamling NP Matte 3 | Formelblad Deriveringsregler | Diagnosprov kap 2 som PDF | Innehållsförteckning kap 2 | Lösningar till diagnosprov kap 2 |
Uppgift 1
Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 9\,x \, + \, 8 \)
Uppgift 2
Vad blir \( \; f\,'(-3) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \,\displaystyle{\frac{2\,x\,^4}{9} + \frac{x\,^3}{3}} \)
Uppgift 3
Ställ upp derivatan \( \; f\,'(x) \; \) om \( \qquad f(x) \, = \,\displaystyle{2\,x \, + \, \frac{1}{x}} \)
Uppgift 4
Derivera funktionen \( \qquad\qquad\qquad y \, = \,\displaystyle{\frac{5\,x}{12}\; + \;\sqrt x} \)
Uppgift 5
Vad blir \( \; f\,'(1) \; \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, 5\,e\,^x \, - \, 3 \, e^{-4\,x} \)
Uppgift 6
För vilket x antar derivatan av följande funktion värdet \( \, 17 \, \)?
- \[ y\; = \; 6\,^x \]
Ange svaret avrundat till tre decimaler.
Uppgift 7
Ställ upp derivatan av följande funktion: \( \qquad\displaystyle{ y\,= \,\frac{{{e^{ x}}\;\; + \;\;{e^{ - x}}}}{2} } \)
Uppgift 8
Ställ upp ekvationen för tangenten till kurvan
- \[ y \, = \, x^2 \, + \, 5\,x \, - \, 1 \]
i punkten \( \, - 1 \, \).
Uppgift 9
Temperaturen T i en kopp kaffe sjunker enligt modellen
- \[ T \, = \, 70 \cdot e^{-0,034\,t} \, + \, 35 \]
där \( \, t \, \) är tiden i minuter efter att kaffet hällts i koppen.
Hur stor är avkylningshastigheten efter \( \, 10 \, \) minuter?
Ange svaret med två decimalers noggrannhet.
Uppgift 10
Vad blir \( \, f\,'(4) \, \) om \( \qquad\qquad\quad f(x) \, = \, \displaystyle{ x^3 \, + \, \frac{\sqrt x}{2}}\)
Ange resultatet med tre decimaler.
Uppgift 11
Befolkningen i en småstad utvecklas under åren \( \, 2\,000\)-\(2\,010 \, \)enligt modellen
- \[ N \, = \, 25\,000 \cdot 0,98\,^t \]
där \( \, N \, \) är antal personer och \( \, t \, \) är tiden i år räknad från \( \, 2\,000 \, \).
Ökar eller minskar befolkningen år \( \, 2\,005 \, \) och i så fall hur mycket per år?
Uppgift 12
Värdet av en produkt minskar enligt
- \[ y \, = \, 225\,000 \cdot e\,^{-k\,x} \]
där \( \, y \, \) är värdet i kr, \( \, x \, \) produktens ålder i år och \( \, k \, \) en konstant.
Bestäm k så att värdet är \( \, 100\,000 \, \) kr efter \( \, 5 \, \) år.
Med hur många kr minskar värdet per år då \( \, x = 5 \, \)?
Uppgift 13
Antalet bakterier \( \, N \, \) i en bakteriekultur följer funktionen
- \[ N(t) \, = \, \frac{250}{1 + 249 \cdot e\,^{-t}} \]
där \( \, t \, \) är tiden i minuter. Ange bakteriernas tillväxthastighet efter \( \, 7 \, \) minuter.
Fundera först om funktionen \( \, N(t) \, \) kan deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss hittills.
Uppgift 14
Bakterier i en liter mjölk växer enligt modellen:
- \[ y \, = \, 10 \cdot 2\,^x \]
där \( \, y \, \) är antal bakterier och \( \, x \, \) är tiden i timmar.
Efter hur många timmar har tillväxthastigheten i mjölken uppnått \( \, 1\,000 \, \) bakterier/timme?
Avrunda svaret till en decimal.
Uppgift 15
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan
- \[ y \, = \, 2\,x^2 - \,3\,x\, - \,4 \]
som är parallell till linjen
- \[ \!\! y \, = \, x \, - \, 4 \]
I vilken punkt tangerar (berör) tangenten kurvan?
Ange denna punkts koordinater.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
