Skillnad mellan versioner av "3.5 Övningar till Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Övning 8) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (27 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Teori]]}} | {{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Teori]]}} | ||
{{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}} | {{Selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}} | ||
| − | + | {{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.]]}} | |
| + | {{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Lösningar till diagnosprov kap 3]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| Rad 233: | Rad 234: | ||
:::<math> H \, = \, {\rm Kons\;höjd\;} \, = \, 30 \; {\rm cm} </math> | :::<math> H \, = \, {\rm Kons\;höjd\;} \, = \, 30 \; {\rm cm} </math> | ||
| − | Vilka mått på | + | Vilka mått på cylindern maximerar dess volym <math> \, V \, </math>? |
| − | a) | + | a) Formulera problemets bivillkor. Använd den röda triangeln i figuren. |
b) Ställ upp problemets målfunktion <math> \, V(r) \, </math> där <math> r = </math> cylinderns radie. | b) Ställ upp problemets målfunktion <math> \, V(r) \, </math> där <math> r = </math> cylinderns radie. | ||
| − | c) Bestäm <math> \, r \, </math> | + | c) Bestäm cylinderns radie <math> \, r \, </math> och höjd <math> \, h \, </math> så att volymen blir maximal. |
d) Beräkna cylinderns maximala volym. | d) Beräkna cylinderns maximala volym. | ||
| Rad 248: | Rad 249: | ||
:när volymen maximeras? | :när volymen maximeras? | ||
</td> | </td> | ||
| − | <td> | + | <td> [[Image: Ovn 358_140.jpg]] |
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.5 Svar | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar 8a|3.5 Svar 8a|Lösning 8a|3.5 Lösning 8a|Svar 8b|3.5 Svar 8b|Lösning 8b|3.5 Lösning 8b|Svar 8c|3.5 Svar 8c|Lösning 8c|3.5 Lösning 8c|Svar 8d|3.5 Svar 8d|Lösning 8d|3.5 Lösning 8d|Svar 8e|3.5 Svar 8e|Lösning 8e|3.5 Lösning 8e}} |
== Övning 9 == | == Övning 9 == | ||
| Rad 261: | Rad 262: | ||
plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, </math>. | plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | I teoridelen, [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3 Konservburk</span></strong>]], löstes denna uppgift med <math>A=500</math>. | ||
| + | |||
| + | Här ska den lösas generellt för en given konstant <math> \, A \, </math>. | ||
Vilka mått på konserven maximerar volymen? | Vilka mått på konserven maximerar volymen? | ||
| Rad 269: | Rad 274: | ||
b) Ställ upp problemets målfunktion. | b) Ställ upp problemets målfunktion. | ||
| − | c) Bestäm cylinderns radie | + | c) Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal. |
| − | d) | + | d) Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa: |
| − | : | + | :För en cylinder med maximal volym gäller för radien <math> \, r \, </math> och höjden <math> \, h \, </math>: |
</td> | </td> | ||
<td> [[Image: Konservburk_40.jpg]] | <td> [[Image: Konservburk_40.jpg]] | ||
| Rad 281: | Rad 286: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | :::::::::<math> 2 \; r \; = \; h </math> | |
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar 9a|3.5 Svar 9a|Lösning 9a|3.5 Lösning 9a|Svar 9b|3.5 Svar 9b|Lösning 9b|3.5 Lösning 9b|Svar 9c|3.5 Svar 9c|Lösning 9c|3.5 Lösning 9c|Svar 9d|3.5 Svar 9d|Lösning 9d|3.5 Lösning 9d}} | ||
| + | |||
| + | |||
| − | |||
Nuvarande version från 11 februari 2015 kl. 13.03
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv. | Lösningar till diagnosprov kap 3 |
E-övningar: 1-5
Övning 1
I figuren till höger rör sig punkten \( \, P \, \) på den räta linje vars ekvation är:
Vilken position av \( \, P \, (x, \, y) \, \) ger maximal area till den skuggade rektangeln?
b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion av endast en variabel. c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Beräkna rektangelns maximala area. |
|
Hämtar...Övning 2
| En rektangel har omkretsen \( \, 12 \, {\rm cm} \, \). Maximera rektangelns area.
b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns area blir maximal. d) Vad blir rektangelns maximala area? |
|
Övning 3
| En rektangels area är \( \, 25 \, {\rm cm}^2 \, \). Minimera rektangelns omkrets.
b) Ange problemets målfunktion. c) Bestäm sidorna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) så att rektangelns omkrets blir minimal. d) Vad blir rektangelns minimala omkrets? |
|
Övning 4
| En rätvinklig triangel är inbunden i en parabel enligt figuren:
Parabeln är definierad genom:
Punkten \( \, P\,(x,\,y) \, \) rör sig på parabeln. Vilken position av \( \, P \, \) ger triangeln största möjliga arean \( \, A \, \)?
b) Ställ upp problemets målfunktion som en funktion \( \, A(x) \, \). c) Bestäm koordinaterna till \( \, P \, \) så att triangelns area blir maximal. d) Beräkna triangelns maximala area. |
|
Övning 5
| En fårherde vill samla sina får under en sommarnatt vid en mur i ett rektan-
gulärt område som hon/han avgränsar med hjälp av ett rep på \( \, 9 \; {\rm m} \, \) (rött) och pinnar i marken enligt figuren. Hur ska fårherden välja stängselns mått för att få den största möjliga ytan för sina får?
b) Ange målfunktionens definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att stängselns area blir maximal. d) Beräkna stängselns maximala area. e) Har problemet ett bivillkor? Om ja, ange det. f) Kan du intuitivt komma på andra geometriska figurer än rektangeln som
|
|
C-övningar: 6-7
Övning 6
| Du ska bygga en öppen låda av en kvadratisk kartong på \( \, 10 \times 10 \; {\rm dm} \, \).
Det gör du genom att skära ut små kvadrater av längden \( \, x \, \) från karton- gens fyra hörn enligt figuren. Hur ska du välja \( \, x \, \) för att få den största möjliga volymen \( \, V \, \) för din öppna låda?
b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(x) \, \). c) Ange målfunktionens definitionsmängd. d) Bestäm \( \, x \, \) så att lådans volym \( \, V(x) \, \) blir maximal. e) Beräkna lådans maximala volym. f) Vilka mått har lådan med maximal volym? Ange dina svar med två decimaler. |
|
Övning 7
SJ har \( \, 20\,000 \, \) passagerare per månad på en viss bansträcka med ett biljettpris på \( \, 200 \, \) kr.
En marknadsundersökning visar att varje höjning av biljettpriset med \( \, 1 \, \) kr skulle medföra en förlust av \( \, 80 \, \) passagerare per månad.
Vilken biljettprishöjning kommer att maximera intäkten per månad?
a) Ange problemets bivillkor om:
- \[ x \, = \, {\rm Den\;planerade\;prishöjningen\;i\;kr.} \]
- \[ y \, = \, {\rm Antalet\;passagerare\;per\;månad\;efter\;en\;sådan\;prishöjning.} \]
b) Ställ upp problemets målfunktionen \( \, I(x) \, \) för SJ:s intäkt per månad.
c) Bestäm \( \, x \, \) så att intäkten \( \, I(x) \, \) blir så stor som möjligt.
d) Beräkna den maximala intäkten efter en biljettprishöjning på \( \, x \, \) kr.
e) För vilka prishöjningar kommer det inte längre att löna sig att höja biljettpriset?
A-övningar: 8-9
Övning 8
En cylinder är placerad inuti en kon enligt figuren. Kons mått är givna:
Vilka mått på cylindern maximerar dess volym \( \, V \, \)?
b) Ställ upp problemets målfunktion \( \, V(r) \, \) där \( r = \) cylinderns radie. c) Bestäm cylinderns radie \( \, r \, \) och höjd \( \, h \, \) så att volymen blir maximal. d) Beräkna cylinderns maximala volym. e) Vilket förhållande råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \)
|
|
Övning 9
| För att producera en cylinderformad konservburk har man en viss mängd \( \, A \, \)
plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, A \; {\rm cm}^2 \, \). I teoridelen, Exempel 3 Konservburk, löstes denna uppgift med \(A=500\). Här ska den lösas generellt för en given konstant \( \, A \, \). Vilka mått på konserven maximerar volymen?
b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie så att burkens volym blir maximal. d) Bestäm cylinderns höjd när burkens volym maximeras och visa:
|
|
- \[ 2 \; r \; = \; h \]
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
