Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"

Nuvarande version från 12 februari 2015 kl. 23.20

Exempel 1 Rektangel i parabel

En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given: \[ y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \qquad {\rm med} \qquad y \, \geq \, 0 \] Punkten \( \, (x,\,y) \, \) rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så att rektangelns area \( \, A \, \) blir så stor som möjligt. a)   Ställ upp rektangelns area som en funktion av \( \, x \, \) dvs \( \, A(x) \, \). b)   Bestäm \( \, x \, \) så att \( \, A(x) \, \) antar ett maximum. c)   Beräkna rektangelns maximala area. Lösning:

a)   Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)

Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) elimineras.

Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn måste alltid ligga på parabeln. Därför måste dess koordinater \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) uppfylla parabelns ekvation:

Inom optimeringslära \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner \(-\) kallas sambandet ovan för problemets bivillkor.

Tvångsvillkor, därför att man är tvungen att uppfylla villkoret. Bivillkoret för vårt problem är parabelns ekvation, för punkten \( \, (x,\,y) \, \) måste följa parabeln.

Vi använder detta bivillkor för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel.

Därför sätter vi in bivillkoret i \( \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\). På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av en variabel för problemets målfunktion:

Det är denna målfunktion som ska maximeras. Definitionsintervallets vänstra ända \( \, 0 \, \) är motiverad av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ.

Definitionsintervallets högra ända \( \, \sqrt{10} \, \) ges av parabelns positiva nollställe (se figuren ovan), dvs av lösningen till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, \).

Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.

I vårt problem gäller det att maximera målfunktionen \( \, A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \, \). Här har bivillkoret redan använts för att göra målfunktionen till en funktion av endast variabeln \( \, x \, \).

c)   Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten. Vi börjar med att derivera målfunktionen:

\[ A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,6\,x \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\]

Pga målfunktionens definitionsmängd (\( 0 \leq x \leq \sqrt{10} \), se b)) förkastas \( \, x_2 = -1,83 \, \) medan \( \, x_1 = 1,83 \, \) ligger inom definitionsmängden.

Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,83 \, \):

\( A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).

För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.

d)   Eftersom rektangelns area blir maximal för \( \, x = 1,83 \, \) sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \]

\[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]

     Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).

Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)

En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm: Ur skivan ska en rektangulär glasplatta med maximal area skäras ut. a)   Formulera problemets bivillkor. b)   Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. c)   Bestäm \( \, x \, \) så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) maximeras. d)   Beräkna glasplattans maximala area.

Lösning:

a)   Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)

För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras. Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.

Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här: Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är: \[ {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m \] Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då: \( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \)

Detta samband mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\) är problemets bivillkor.

b)   Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

c)   För att maximera målfunktionen börjar vi med att derivera den:

\[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]

\( \, x = 15 \, \) ligger inom målfunktionens definitionsmängd.

Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):

\( A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).

För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.

d)   Eftersom rektangeln får sin största area för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:

\[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

\[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]

     Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).

Exempel 3 Konservburk

För att producera en cylinderformad konservburk har man \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \) plåt till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \). Maximera konservburkens volym. a)   Formulera problemets bivillkor. b)   Ställ upp problemets målfunktion. c)   Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal. d)   Ange målfunktionens definitionsmängd. Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen. e)   Beräkna konservburkens maximala volym. f)   Vilket samband råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \) när volymen maximeras?

Lösning:

a)   Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \) \[\begin{array}{rcl} 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500 \\ 2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2 \\ h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\ h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r \end{array}\] Därmed är bivillkoret: \( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)

b)   Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)

För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):

\[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]

c)   Målfunktionen maximeras:

\[ V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \]

\[ V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]

\[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\]

\( \, r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .

Andraderivatans tecken för \( \, r = 5,15 \, \):

\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \, \).

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):

\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \)

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \).

d)   För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar vi först på bivillkoret:

\[ h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \]

Av detta framgår att \( \; r \; \) inte får vara \( \, 0 \, \): \( \; r \, \neq \, 0 \; \).

Dessutom kan \( \; r \; \) som en längd inte vara negativ. Därför är \( \, 0 \, \) en undre gräns för \( \, r \, \):

\[ r \, > \, 0 \]

För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för \( \; r \; \) tittar vi på cylinderns begränsningsarea:

\[ \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \]

Pga begränsningsareans konstanta värde \( \, 500 \, \) blir cylinderns radie störst när höjden blir \( \, 0 \, \).

Därför får vi radiens största värde \( \, r_{max} \, \) om vi i formeln ovan väljer \( \, h=0 \, \):

\[ \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r_{max}\right)\,^2 \, = \, 500 \]

Varav följer:

\[ \, r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 \]

Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:

\( 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 \)

Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av \( \, r \, \) med definitionsmängden ovan:

Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för \( \, r = 5,15 \, \).

Bivillkorets graf visar att \( \, r \, \) inte kan bli större än \( \, 8,92 \, \), medan \( \, h \, \) kan växa obegränsat när \( \, r \, \) går mot \( \, 0 \, \).

e)   Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:

\[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]

     Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).

f)   Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \) när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \), maximeras:

\( 2 \; r \; = \; h \)

Återstår frågan om samma samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym:

Diametern \( \; = \; \) Höjden

Denna fråga är föremål för undersökning i övning 9. En annan intressant frågeställning är:

Råder även samma samband \( \; 2 \, r \, = \, h \; \) om man utgår från en konservburk med fast given volym och istället minimerar materialåtgången för konservburken?

En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet.

Ett ekonomiskt exempel

Se övning 7.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.