Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1 Glasskiva) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (372 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
{{Selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Teori]]}} | {{Selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Teori]]}} | ||
{{Not selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[3.5 Övningar till Extremvärdesproblem|Övningar]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[3. | + | {{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv.]]}} |
| + | {{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov kap 3 Användning av derivata|Lösningar till diagnosprov kap 3]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | [[Media: Lektion 33 Extremvärdesproblem I Ruta.pdf|Lektion 33 Extremvärdesproblem I]] | + | <!-- [[Media: Lektion 33 Extremvärdesproblem I Ruta.pdf|Lektion 33 Extremvärdesproblem I]] --> |
| − | [[Media: Lektion 34 Extremvärdesproblem II Ruta.pdf|Lektion 34 Extremvärdesproblem II]] | + | <!-- [[Media: Lektion 34 Extremvärdesproblem II Ruta.pdf|Lektion 34 Extremvärdesproblem II]] --> |
__TOC__ | __TOC__ | ||
| − | == Exempel 1 | + | == Exempel 1 Rektangel i parabel == |
| + | |||
| + | <table> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td>En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given: | ||
| + | |||
| + | :::<math> y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \qquad {\rm med} \qquad y \, \geq \, 0 </math> | ||
| + | |||
| + | Punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så | ||
| + | |||
| + | att rektangelns area <math> \, A \, </math> blir så stor som möjligt. | ||
| − | |||
| − | + | a) Ställ upp rektangelns area som en funktion av <math> \, x \, </math> dvs <math> \, A(x) \, </math>. | |
| − | + | ||
| − | + | b) Bestäm <math> \, x \, </math> så att <math> \, A(x) \, </math> antar ett maximum. | |
| − | + | c) Beräkna rektangelns maximala area. | |
| − | |||
'''Lösning:''' | '''Lösning:''' | ||
| − | + | </td> | |
| + | <td> [[Image: 35 Rektangel i parabel.jpg]] | ||
| − | + | </td> | |
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | a) Rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} </math> | ||
| − | Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av <u>två</u> variabler som vi inte kan | + | Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av <u>två</u> variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast <u>en</u> variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> elimineras. |
| − | + | Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn måste alltid ligga på parabeln. Därför måste dess koordinater <math> \, (x,\,{\color{Red} y}) \, </math> uppfylla parabelns ekvation<span style="color:black">:</span> | |
| + | <div style="border:1px solid black; | ||
| + | display:inline-block !important; | ||
| + | margin-left: 30px !important; | ||
| + | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math></strong></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Inom [http://sv.wikipedia.org/wiki/Optimeringsl%C3%A4ra <strong><span style="color:blue">optimeringslära</span></strong>] <math>-</math> den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner <math>-</math> kallas sambandet ovan för problemets <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;padding:10px 20px 10px 20px;-webkit-border-radius: 15px;"> | ||
| + | <big>'''Bivillkor för ett extremvärdesproblem''': | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong> är ett samband mellan problemets variabler och bestäms av problemets <u>givna</u> | ||
| + | |||
| + | geometriska eller andra egenskaper. Ibland kallas det även för <strong><span style="color:red">tvångsvillkor</span></strong> (eng. <i>constraint</i>). | ||
| + | </big></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Tvångsvillkor, därför att man är tvungen att uppfylla villkoret. Bivillkoret för vårt problem är parabelns ekvation, för punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> måste följa parabeln. | ||
| + | |||
| + | Vi använder detta bivillkor för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel. | ||
| + | |||
| + | Därför sätter vi in bivillkoret i <math> \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math>. På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av <math> \, x </math>: | ||
| + | |||
| + | ::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | ||
| + | |||
| + | I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av <u>en</u> variabel för problemets <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong>: | ||
| + | |||
| + | <div style="border:1px solid black; | ||
| + | display:inline-block !important; | ||
| + | margin-left: 30px !important; | ||
| + | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math> | ||
| + | |||
| + | Det är denna målfunktion som ska maximeras. Definitionsintervallets vänstra ända <math> \, 0 \, </math> är motiverad av att arean och därmed <math> \, x \, </math> inte kan bli negativ. | ||
| + | |||
| + | Definitionsintervallets högra ända <math> \, \sqrt{10} \, </math> ges av parabelns positiva nollställe (se figuren ovan), dvs av lösningen till ekvationen <math> \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 30px;padding:10px 20px 10px 20px;-webkit-border-radius: 15px;"> | ||
| + | <big>'''Målfunktion för ett extremvärdesproblem''': | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong> är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras (eng. <i>objective function</i>). | ||
| + | </big></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel. | ||
| + | |||
| + | I vårt problem gäller det att maximera målfunktionen <math> \, A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \, </math>. Här har bivillkoret redan använts för att göra målfunktionen till en funktion av endast variabeln <math> \, x \, </math>. | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| + | c) Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten. Vi börjar med att derivera målfunktionen: | ||
| + | |||
| + | ::<math> A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> A''(x) \, = \, -\,6\,x </math> | ||
| + | |||
| + | Derivatans nollställe: | ||
| + | |||
| + | ::<math>\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ | ||
| + | & & 10 & = & 3\,x^2 \\ | ||
| + | & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ | ||
| + | & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ | ||
| + | & & x_1 & = & 1,83 \\ | ||
| + | & & x_2 & = & -1,83 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | Pga målfunktionens definitionsmängd (<math> 0 \leq x \leq \sqrt{10} </math>, se b)) förkastas <math> \, x_2 = -1,83 \, </math> medan <math> \, x_1 = 1,83 \, </math> ligger inom definitionsmängden. | ||
| + | |||
| + | Andraderivatans tecken för <math> \, x = 1,83 \, </math><span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 1,83 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | För <math> \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum. | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| + | d) Eftersom rektangelns area blir maximal för <math> \, x = 1,83 \, </math> sätter vi in <math> \, x = 1,83 \, </math> i målfunktionen för att få största arean: | ||
| + | |||
| + | ::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 </math> | ||
| + | |||
| + | Rektangelns maximala area är <math> \, 12,17 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel) == | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> | + | <td>En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm: |
| − | + | Ur skivan ska en rektangulär glasplatta med maximal area skäras ut. | |
| − | + | a) Formulera problemets bivillkor. | |
| − | + | b) Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. | |
| + | |||
| + | c) Bestäm <math> \, x \, </math> så att glasplattans area <math> \, A(x) \, </math> maximeras. | ||
| + | |||
| + | d) Beräkna glasplattans maximala area. | ||
| + | </td> | ||
| + | <td> [[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | '''Lösning:''' | ||
| + | |||
| + | a) Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} </math> | ||
| + | |||
| + | För att skriva om funktionen ovan till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast <u>en</u> variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> uttryckas med <math> \, x \, </math>, så att <math> \, {\color{Red} y} \, </math> kan elimineras. Sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den. | ||
| + | |||
| + | <table> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td>Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här: | ||
| + | |||
| + | Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. | ||
| + | |||
| + | Punkten <math> \, (x, y) \, </math> rör sig på denna räta linje vars ekvation är: | ||
::<math> {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m </math> | ::<math> {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m </math> | ||
| Rad 55: | Rad 181: | ||
Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span> <math> \quad m \, = \, 20 </math> | Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span> <math> \quad m \, = \, 20 </math> | ||
| − | Den räta linjens ekvation blir då<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black; | + | Den räta linjens ekvation blir då<span style="color:black">:</span> |
| + | |||
| + | :::<div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
| − | margin-left: | + | margin-left: 52px !important; |
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div> | ||
</td> | </td> | ||
| − | <td>[[Image: Ovn 3_2_10a.jpg]]</td> | + | <td> [[Image: Ovn 3_2_10a.jpg]]</td> |
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| + | Detta samband mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \,</math> är problemets bivillkor. | ||
| + | ---- | ||
| − | |||
| − | + | b) Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math> och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av <math> \, x </math>: | |
| − | + | ::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | |
| − | ::<math> A\,(x | + | Målfunktionen är<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black; |
| + | display:inline-block !important; | ||
| + | margin-left: 25px !important; | ||
| + | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,</math>. | ||
| − | |||
| − | <div style="border:1px solid black; | + | ---- |
| + | |||
| + | |||
| + | c) För att maximera målfunktionen börjar vi med att derivera den: | ||
| + | |||
| + | ::<math> A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} </math> | ||
| + | |||
| + | Derivatans nollställe: | ||
| + | |||
| + | ::<math>\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ | ||
| + | & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ | ||
| + | & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ | ||
| + | & & x & = & 15 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | <math> \, x = 15 \, </math> ligger inom målfunktionens definitionsmängd. | ||
| + | |||
| + | Andraderivatans tecken för <math> \, x = 15 \, </math><span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 15 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | För <math> \, x = 15 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal. | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| + | d) Eftersom rektangeln får sin största area för <math> \, x = 15 \, </math> sätter vi in <math> \, x = 15 \, </math> i målfunktionen för att få största arean: | ||
| + | |||
| + | ::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 </math> | ||
| + | |||
| + | Glasplattans största area blir <math> \, 150 \, {\rm cm}^2 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Exempel 3 Konservburk == | ||
| + | |||
| + | <table> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td>För att producera en cylinderformad konservburk har man <math> \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math> plåt | ||
| + | |||
| + | till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea <math> \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | Maximera konservburkens volym. | ||
| + | |||
| + | a) Formulera problemets bivillkor. | ||
| + | |||
| + | b) Ställ upp problemets målfunktion. | ||
| + | |||
| + | c) Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal. | ||
| + | |||
| + | d) Ange målfunktionens definitionsmängd. | ||
| + | |||
| + | :Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen. | ||
| + | |||
| + | e) Beräkna konservburkens maximala volym. | ||
| + | |||
| + | f) Vilket samband råder mellan cylinderns radie <math> \, r \, </math> och dess höjd <math> \, h \, </math> | ||
| + | |||
| + | :när volymen maximeras? | ||
| + | </td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td>[[Image: Konservburk_40.jpg]]</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''Lösning:''' | ||
| + | <table> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td>a) Begränsningsarean <math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math>\begin{array}{rcl} 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500 \\ | ||
| + | 2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2 \\ | ||
| + | h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\ | ||
| + | h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | Därmed är bivillkoret: <div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
| − | margin-left: | + | margin-left: 25px !important; |
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| − | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> | + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math></strong></div> |
| + | </td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td>[[Image: Zylinder01.gif]]</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| − | |||
---- | ---- | ||
| − | b) | + | b) Cylinderns volym <math> \, V \, </math> är basytan <math> \times </math> höjden dvs<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, </math> |
| + | |||
| + | För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i <math> \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, </math> och eliminerar <math> \, {\color{Red} h} \, </math>: | ||
| + | |||
| + | :::<math> V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 </math> | ||
| + | |||
| + | Därmed är målfunktionen: <div style="border:1px solid black; | ||
| + | display:inline-block !important; | ||
| + | margin-left: 25px !important; | ||
| + | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math></strong></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| + | c) Målfunktionen maximeras: | ||
| + | |||
| + | ::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r </math> | ||
| + | |||
| + | Derivatans nollställe: | ||
| + | |||
| + | ::<math>\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ | ||
| + | & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ | ||
| + | & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ | ||
| + | & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ | ||
| + | & & r & = & 5,15 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | |||
| + | <math> \, r_2 = -5,15 \, </math> förkastas, för radien kan inte bli negativ<span style="color:black">:</span> <math> \, r \, > \, 0 \, </math> . | ||
| + | |||
| + | Andraderivatans tecken för <math> \, r = 5,15 \, </math><span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 </math> | ||
| + | |||
| + | Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math>. | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| + | d) För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar vi först på bivillkoret: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math> | ||
| + | |||
| + | Av detta framgår att <math> \; r \; </math> inte får vara <math> \, 0 \, </math><span style="color:black">:</span> <math> \; r \, \neq \, 0 \; </math>. | ||
| + | |||
| + | Dessutom kan <math> \; r \; </math> som en längd inte vara negativ. Därför är <math> \, 0 \, </math> en undre gräns för <math> \, r \, </math>: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> r \, > \, 0 </math> | ||
| + | |||
| + | För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för <math> \; r \; </math> tittar vi på cylinderns begränsningsarea: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math> | ||
| + | |||
| + | Pga begränsningsareans konstanta värde <math> \, 500 \, </math> blir cylinderns radie störst när höjden blir <math> \, 0 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | Därför får vi radiens största värde <math> \, r_{max} \, </math> om vi i formeln ovan väljer <math> \, h=0 \, </math>: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r_{max}\right)\,^2 \, = \, 500 </math> | ||
| + | |||
| + | Varav följer: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> \, r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 </math> | ||
| + | |||
| + | Därmed blir målfunktionens definitionsmängd: | ||
| + | |||
| + | ::::<div style="border:1px solid black; | ||
| + | display:inline-block !important; | ||
| + | margin-left: 25px !important; | ||
| + | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 </math></strong></div> | ||
| + | |||
| + | Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av <math> \, r \, </math> med definitionsmängden ovan: | ||
| + | |||
| + | [[Image: Konservburk Grafer.jpg]] | ||
| + | |||
| + | Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för <math> \, r = 5,15 \, </math>. | ||
| + | |||
| + | Bivillkorets graf visar att <math> \, r \, </math> inte kan bli större än <math> \, 8,92 \, </math>, medan <math> \, h \, </math> kan växa obegränsat när <math> \, r \, </math> går mot <math> \, 0 \, </math>. | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| + | e) Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym: | ||
| + | |||
| + | ::<math> V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 </math> | ||
| + | |||
| + | Konservburkens maximala volym blir <math> \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; </math>. | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | |||
| + | f) Följande samband råder mellan cylinderns radie <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och dess höjd <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math> när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på <math> \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math>, maximeras: | ||
| + | |||
| + | ::::<div style="border:1px solid black; | ||
| + | display:inline-block !important; | ||
| + | margin-left: 25px !important; | ||
| + | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 2 \; r \; = \; h </math></strong></div> | ||
| + | |||
| + | Återstår frågan om samma samband även råder generellt mellan radien <math> \; r \; </math> och höjden <math> \; h \; </math> för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym: | ||
| + | |||
| + | ::<div style="border:1px solid black; | ||
| + | display:inline-block !important; | ||
| + | margin-left: 23px !important; | ||
| + | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
| + | -webkit-border-radius: 10px;"><strong> Diametern <math> \; = \; </math> Höjden </strong></div> | ||
| + | |||
| + | Denna fråga är föremål för undersökning i [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_9|<strong><span style="color:blue">övning 9</span></strong>]]. En annan intressant frågeställning är: | ||
| + | |||
| + | Råder även samma samband <math> \; 2 \, r \, = \, h \; </math> om man utgår från en konservburk med fast given volym och istället minimerar materialåtgången för konservburken? | ||
| + | |||
| + | En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Ett ekonomiskt exempel == | ||
| + | |||
| + | Se [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_7|<strong><span style="color:blue">övning 7</span></strong>]]. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved. | ||
Nuvarande version från 12 februari 2015 kl. 23.20
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Diagnosprov kap 3 Anv. av deriv. | Lösningar till diagnosprov kap 3 |
Innehåll
Exempel 1 Rektangel i parabel
En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:
Punkten \( \, (x,\,y) \, \) rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så att rektangelns area \( \, A \, \) blir så stor som möjligt.
b) Bestäm \( \, x \, \) så att \( \, A(x) \, \) antar ett maximum. c) Beräkna rektangelns maximala area.
|
|
a) Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)
Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera. För att skriva om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) elimineras.
Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn måste alltid ligga på parabeln. Därför måste dess koordinater \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) uppfylla parabelns ekvation:
Inom optimeringslära \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner \(-\) kallas sambandet ovan för problemets bivillkor.
Bivillkor för ett extremvärdesproblem:
Ett extremvärdesproblems bivillkor är ett samband mellan problemets variabler och bestäms av problemets givna
geometriska eller andra egenskaper. Ibland kallas det även för tvångsvillkor (eng. constraint).
Tvångsvillkor, därför att man är tvungen att uppfylla villkoret. Bivillkoret för vårt problem är parabelns ekvation, för punkten \( \, (x,\,y) \, \) måste följa parabeln.
Vi använder detta bivillkor för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel.
Därför sätter vi in bivillkoret i \( \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\). På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av \( \, x \):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
I optimeringslära kallas den erhållna funktionen av en variabel för problemets målfunktion:
Det är denna målfunktion som ska maximeras. Definitionsintervallets vänstra ända \( \, 0 \, \) är motiverad av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ.
Definitionsintervallets högra ända \( \, \sqrt{10} \, \) ges av parabelns positiva nollställe (se figuren ovan), dvs av lösningen till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \, \).
Målfunktion för ett extremvärdesproblem:
Ett extremvärdesproblems målfunktion är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras (eng. objective function).
Extremvärdesproblem består i regel av ett eller flera bivillkor och en målfunktion, där bivillkoren används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.
I vårt problem gäller det att maximera målfunktionen \( \, A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \, \). Här har bivillkoret redan använts för att göra målfunktionen till en funktion av endast variabeln \( \, x \, \).
c) Resten av uppgiften kan lösas med de metoder vi lärt oss i de förra avsnitten. Vi börjar med att derivera målfunktionen:
- \[ A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
- \[ A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10 \]
- \[ A''(x) \, = \, -\,6\,x \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\]
Pga målfunktionens definitionsmängd (\( 0 \leq x \leq \sqrt{10} \), se b)) förkastas \( \, x_2 = -1,83 \, \) medan \( \, x_1 = 1,83 \, \) ligger inom definitionsmängden.
Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,83 \, \):
\( A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).
För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.
d) Eftersom rektangelns area blir maximal för \( \, x = 1,83 \, \) sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen för att få största arean:
- \[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
- \[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]
Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).
Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)
| En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:
Ur skivan ska en rektangulär glasplatta med maximal area skäras ut. a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) maximeras. d) Beräkna glasplattans maximala area. |
 |
Lösning:
a) Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)
För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras. Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa och måste alltid ligga på den.
| Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här:
Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är:
Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då:
|
 |
Detta samband mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\) är problemets bivillkor.
b) Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
c) För att maximera målfunktionen börjar vi med att derivera den:
- \[ A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
- \[ A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20 \]
- \[ A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}\]
\( \, x = 15 \, \) ligger inom målfunktionens definitionsmängd.
Andraderivatans tecken för \( \, x = 15 \, \):
\( A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).
För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.
d) Eftersom rektangeln får sin största area för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:
- \[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
- \[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]
Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).
Exempel 3 Konservburk
| För att producera en cylinderformad konservburk har man \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \) plåt
till förfogande (efter spill). Dvs cylinderns begränsningsarea \( \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \). Maximera konservburkens volym. a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal. d) Ange målfunktionens definitionsmängd.
e) Beräkna konservburkens maximala volym. f) Vilket samband råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \)
|
 |
Lösning:
a) Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \)
\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)
|
 |
b) Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)
För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):
- \[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
c) Målfunktionen maximeras:
- \[ V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \]
- \[ V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 \]
- \[ V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r \]
Derivatans nollställe:
- \[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\]
\( \, r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ: \( \, r \, > \, 0 \, \) .
Andraderivatans tecken för \( \, r = 5,15 \, \):
\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \, \).
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):
\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \)
Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \).
d) För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar vi först på bivillkoret:
- \[ h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \]
Av detta framgår att \( \; r \; \) inte får vara \( \, 0 \, \): \( \; r \, \neq \, 0 \; \).
Dessutom kan \( \; r \; \) som en längd inte vara negativ. Därför är \( \, 0 \, \) en undre gräns för \( \, r \, \):
- \[ r \, > \, 0 \]
För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för \( \; r \; \) tittar vi på cylinderns begränsningsarea:
- \[ \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \]
Pga begränsningsareans konstanta värde \( \, 500 \, \) blir cylinderns radie störst när höjden blir \( \, 0 \, \).
Därför får vi radiens största värde \( \, r_{max} \, \) om vi i formeln ovan väljer \( \, h=0 \, \):
- \[ \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r_{max}\right)\,^2 \, = \, 500 \]
Varav följer:
- \[ \, r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 \]
Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:
- \( 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 \)
Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av \( \, r \, \) med definitionsmängden ovan:
Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för \( \, r = 5,15 \, \).
Bivillkorets graf visar att \( \, r \, \) inte kan bli större än \( \, 8,92 \, \), medan \( \, h \, \) kan växa obegränsat när \( \, r \, \) går mot \( \, 0 \, \).
e) Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:
- \[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]
Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).
f) Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \) när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \), maximeras:
- \( 2 \; r \; = \; h \)
Återstår frågan om samma samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym:
- Diametern \( \; = \; \) Höjden
Denna fråga är föremål för undersökning i övning 9. En annan intressant frågeställning är:
Råder även samma samband \( \; 2 \, r \, = \, h \; \) om man utgår från en konservburk med fast given volym och istället minimerar materialåtgången för konservburken?
En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet.
Ett ekonomiskt exempel
Se övning 7.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
