Skillnad mellan versioner av "3.4 Kurvkonstruktioner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(111 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 9: Rad 9:
  
  
−
[[Media: Lektion 32 Kurvkonstruktioner Ruta.pdf|Lektion 32 Kurvkonstruktioner]]
+
<!-- [[Media: Lektion 32 Kurvkonstruktioner Ruta.pdf|Lektion 32 Kurvkonstruktioner]] -->
  
 
__TOC__
 
__TOC__
Rad 15: Rad 15:
  
 
Fortfarande förutsätts att alla funktioner <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> vi behandlar här är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<strong><span style="color:blue">kontinuerliga</span></strong>]] i alla punkter av det betraktade området.
 
Fortfarande förutsätts att alla funktioner <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> vi behandlar här är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<strong><span style="color:blue">kontinuerliga</span></strong>]] i alla punkter av det betraktade området.
 +
 +
 +
== Översikt över punkter som kan identifieras med derivator ==
 +
 +
[[Image: Oversikt Punkter_62_Ph.jpg]]
  
  
Rad 44: Rad 49:
  
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Globala maxima och minima identifieras i regel inte med derivatan,
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Globala maxima och minima identifieras inte med derivatan, annars än
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; annars än att de ev. är identiska med funktionens lokala extrema.
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; att de ev. är identiska med funktionens lokala extrema.
  
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; I ett mindre intervall blir exemplets lokala extrema, även globala.
 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; I ett mindre intervall blir exemplets lokala extrema, även globala.
Rad 66: Rad 71:
 
== Globalt extremum saknas ==
 
== Globalt extremum saknas ==
  
−
En problematik som kan dyka upp när man är ute efter globala extrema är att de inte existerar. '''Exempel:'''
+
En funktion behöver inte nödvändigtvis ha extrema, varken lokala eller globala.
 +
 
 +
Detta kan hända <math>-</math> som det följande exemplet visar <math>-</math> när man letar efter globala extrema där man förväntar dem, t.ex. i definitionsintervallets ändpunkter.
 +
 
 +
'''Exempel:'''
  
 
Följande funktion är definierad i det angivna intervallet<span style="color:black">:</span>
 
Följande funktion är definierad i det angivna intervallet<span style="color:black">:</span>
 +
 +
<math> y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad </math> Definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad -2 < x < 2 </math>
 +
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
 
   <td>
 
   <td>
−
 
+
Av någon anledning är intervallets ändpunkter inte inkluderade i definitionsmängden.
−
<math>y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad </math> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad -2 < x < 2 </math>
+
−
 
+
  
 
Dvs <math> f(x) </math> är inte definierad för <math> \, x = 2 </math>, inte heller för <math> \, x = -2 </math>.
 
Dvs <math> f(x) </math> är inte definierad för <math> \, x = 2 </math>, inte heller för <math> \, x = -2 </math>.
Rad 80: Rad 90:
 
Grafen till höger visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter.
 
Grafen till höger visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter.
  
−
Av följande skäl kan man inte ange något globalt maximum:
+
<math> f(x) </math> har i <math> x = 0 </math> ett lokalt minimum som är även funktionens globala minimum.
 +
 
 +
Däremot kan man inte ange något globalt maximum för <math> f(x) </math>, av följande skäl:
  
 
Om man t.ex. påstår att <math> f(1,99) </math> är funktionens största värde, är <math> f(1,999) </math>  
 
Om man t.ex. påstår att <math> f(1,99) </math> är funktionens största värde, är <math> f(1,999) </math>  
Rad 86: Rad 98:
 
ännu större. Om man påstår att <math> f(1,999) </math> är största värdet, är <math> f(1,9999) </math>  
 
ännu större. Om man påstår att <math> f(1,999) </math> är största värdet, är <math> f(1,9999) </math>  
  
−
ännu större osv. Denna process har ingen ända och gäller även för <math> f(-1,99\cdots) </math>.
+
ännu större osv. Denna process har ingen ända och gäller även för <math> f(-1,99\ldots) </math>.
  
−
<math> f(2) </math> kan inte vara denna funktions största värde, för <math> f(2) </math> är inte definierad.
+
Varken <math> f(2) </math> eller <math> f(-2) </math> kan vara globala maxima, för båda är inte definierade.
  
 
Slutligen kan man inte hitta något största värde: <div style="border:1px solid black;
 
Slutligen kan man inte hitta något största värde: <div style="border:1px solid black;
Rad 103: Rad 115:
 
Man säger att definitionsintervallet <math> \; -2 < x < 2 \; </math> är "öppet": Ändarna tillhör inte intervallet.
 
Man säger att definitionsintervallet <math> \; -2 < x < 2 \; </math> är "öppet": Ändarna tillhör inte intervallet.
  
−
Hade <math> f(x) </math> varit definierad t.ex. i det "slutna" intervallet<span style="color:black">:</span> <math> -2 \leq x \leq 2 \;\; </math> hade <math> \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; </math> varit funktionens globala maximum.
+
Hade <math> f(x) </math> däremot varit definierad t.ex. i det "slutna" intervallet<span style="color:black">:</span> <math> -2 \leq x \leq 2 \;\; </math> hade <math> \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; </math> varit funktionens globala maximum.
 +
 
 +
I praktiken behöver man inte leta efter globala extrema i definitionsintervallets ändpunkter om funktionen är definierad i ett öppet intervall.
 +
 
 +
 
 +
== Exempel på en fullständig kurvkonstruktion ==
 +
 
 +
Funktionen<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> f(x) \, = \, x^3 \, - \, 12\,x^2 \, + \, 45\,x \, - \, 44 \qquad </math> är definierad i intervallet <math> \qquad 1 \leq x \leq 7 </math>
 +
 
 +
 
 +
a) &nbsp; Undersök algebraiskt om <math> \,f(x) \, </math> har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter. Om ja, ange deras koordinater.
 +
 
 +
b) &nbsp; Bestäm funktionens största och minsta värden i definitionsintervallet.
 +
 
 +
c) &nbsp; Skissa för hand det ungefärliga förloppet till <math> \, f(x) \, </math> utgående från information från a) och b).
 +
 
 +
d) &nbsp; Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till <math> \, f(x) \, </math> med grafräknaren.
 +
----
 +
 
 +
a) &nbsp;
 +
 
 +
'''Steg 1'''&nbsp;&nbsp; Derivera <math> \, f(x) \, </math> två gånger:
 +
 
 +
:::<math>\begin{array}{rcl}  f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44    \\
 +
                            f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45  \\
 +
                          f''(x) & = & 6\,x - 24
 +
        \end{array}</math>
 +
 
 +
'''Steg 2'''&nbsp;&nbsp; Sätt derivatan till <math> \, 0 </math>:
 +
 
 +
:::<math>\begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0   
 +
        \end{array}</math>
 +
 
 +
'''Steg 3'''&nbsp;&nbsp; Lös ekvationen som uppstår (beräkna derivatans nollställen):
 +
 
 +
:::<math>\begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0  \\
 +
                                x^2 -  8\,x + 15 & = & 0  \\
 +
  \end{array}</math>
 +
 
 +
:::<math> \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 &    =    & 15        \\
 +
                              x_1  +  x_2 &    =    & -(-8) = 8 \\
 +
                                            &\Downarrow&          \\
 +
                                        x_1 &    =    & 3        \\
 +
                                        x_2 &    =    & 5
 +
          \end{array}</math>
 +
 
 +
::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
 +
 
 +
'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
 +
 
 +
:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
 +
 
 +
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 5} \, </math><span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
 +
 
 +
:::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
 +
 
 +
'''Steg 5'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
 +
 
 +
:::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
 +
 
 +
:::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
 +
----
 +
 
 +
 
 +
b) &nbsp; Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter <math> \, 1 \, </math>  och <math> \, 7 </math> och jämför dem med de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
 +
 
 +
:::<math> f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 </math>
 +
 
 +
:::<math> f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 </math>
 +
 
 +
::Lokala minimivärdet var <math> \, 6 \, </math>, se a).
 +
 
 +
:::<math> -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde.} </math>
 +
 
 +
::Lokala maximivärdet var <math> \, 10 \, </math>, se a).
 +
 
 +
:::<math> 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde.} </math>
 +
 
 +
:De globala extremvärdena <math> \, -10 \, </math>  och <math> \, 26 </math> antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter därför att intervallet <math> \, 1 \leq x \leq 7 \, </math> är slutet.
 +
----
 +
 
 +
 
 +
c) &nbsp; Information från a) om lokala och från b) om globala extrema ger följande skisser:
 +
 
 +
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_1_80.jpg]]
 +
 
 +
 
 +
:Förutsätts kontinuitet hos <math> \, f(x) -</math> vilket vi kan göra pga att <math> f(x) </math> är en polynomfunktion <math>-</math> kan vi förbinda kurvsnuttarna från den högra bilden till följande kontinuerlig skiss:
 +
 
 +
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_2_80.jpg]]
 +
 
 +
----
 +
 
 +
 
 +
d) &nbsp; Grafräknaren ger:
 +
 
 +
:[[Image: Fullstandig_kurvkonstruktion_3_80.jpg]]
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
== Exempel på en kurvkonstruktion ==
 
  
  
−
== Ett lurigt fall ==
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 26 januari 2015 kl. 12.07

       <-- Förra avsnitt          Teori          Övningar          --> Nästa avsnitt      



Fortfarande förutsätts att alla funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) vi behandlar här är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.


Översikt över punkter som kan identifieras med derivator

Oversikt Punkter 62 Ph.jpg


Globala maxima och minima

I avsnittet om Lokala maxima och minima hade vi tittat på sådana punkter som hade maximala och minimala \( \, y\)-värden i sin närmaste omgivning, därför "lokala", se bilden till höger.

I detta avsnitt ska vi betrakta sådana punkter som har största och minsta \( \, y\)-värden i ett intervall, därför "globala", se bilden till vänster.

  Globala maxima & minima.jpg      Globala maxima och minima är en funktions största och minsta värden

     globalt dvs i ett intervall, närmare bestämt:

     Med globala maxima och globala minima menas punkter som har

     största resp. minsta \( \, y\)-värden i funktionens hela definitionsområde.

     På bilden till vänster visas de med   •  . Funktionens största värde är \( \, 30 \, \)

     och dess minsta värde är \( \, -5 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden).


     Globala maxima och minima antas antingen i de lokala maxima och

     minima eller i intervallets ändpunkter.


     Globala maxima och minima identifieras inte med derivatan, annars än

     att de ev. är identiska med funktionens lokala extrema.

     I ett mindre intervall blir exemplets lokala extrema, även globala.

  Lokala maxima minima.jpg


I praktiken hittar man en funktions globala extrema genom att:

  1. Hitta funktionens lokala extrema med någon av de regler vi lärde oss i förra avsnitt (andraderivatan eller teckenstudium).
  2. Beräkna de lokala extremvärdena.
  3. Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
  4. Jämföra de lokala extremvärdena med värdena i definitionsintervallets ändpunkter.


Globalt extremum saknas

En funktion behöver inte nödvändigtvis ha extrema, varken lokala eller globala.

Detta kan hända \(-\) som det följande exemplet visar \(-\) när man letar efter globala extrema där man förväntar dem, t.ex. i definitionsintervallets ändpunkter.

Exempel:

Följande funktion är definierad i det angivna intervallet:

\( y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \quad \) Definitionsmängden: \( \quad -2 < x < 2 \)

Av någon anledning är intervallets ändpunkter inte inkluderade i definitionsmängden.

Dvs \( f(x) \) är inte definierad för \( \, x = 2 \), inte heller för \( \, x = -2 \).

Grafen till höger visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter.

\( f(x) \) har i \( x = 0 \) ett lokalt minimum som är även funktionens globala minimum.

Däremot kan man inte ange något globalt maximum för \( f(x) \), av följande skäl:

Om man t.ex. påstår att \( f(1,99) \) är funktionens största värde, är \( f(1,999) \)

ännu större. Om man påstår att \( f(1,999) \) är största värdet, är \( f(1,9999) \)

ännu större osv. Denna process har ingen ända och gäller även för \( f(-1,99\ldots) \).

Varken \( f(2) \) eller \( f(-2) \) kan vara globala maxima, för båda är inte definierade.

Slutligen kan man inte hitta något största värde:
Globalt maximum saknas.
       Globala extrema saknas.jpg

Att globalt maximum saknas har inte med funktionens egenskaper att göra utan snarare med intervallets där \( f(x) \) är definierad.

Man säger att definitionsintervallet \( \; -2 < x < 2 \; \) är "öppet": Ändarna tillhör inte intervallet.

Hade \( f(x) \) däremot varit definierad t.ex. i det "slutna" intervallet: \( -2 \leq x \leq 2 \;\; \) hade \( \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; \) varit funktionens globala maximum.

I praktiken behöver man inte leta efter globala extrema i definitionsintervallets ändpunkter om funktionen är definierad i ett öppet intervall.


Exempel på en fullständig kurvkonstruktion

Funktionen:


     \( f(x) \, = \, x^3 \, - \, 12\,x^2 \, + \, 45\,x \, - \, 44 \qquad \) är definierad i intervallet \( \qquad 1 \leq x \leq 7 \)


a)   Undersök algebraiskt om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter. Om ja, ange deras koordinater.

b)   Bestäm funktionens största och minsta värden i definitionsintervallet.

c)   Skissa för hand det ungefärliga förloppet till \( \, f(x) \, \) utgående från information från a) och b).

d)   Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \) med grafräknaren.

a)  

Steg 1   Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger:

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\ f''(x) & = & 6\,x - 24 \end{array}\]

Steg 2   Sätt derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0 \end{array}\]

Steg 3   Lös ekvationen som uppstår (beräkna derivatans nollställen):

\[\begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0 \\ x^2 - 8\,x + 15 & = & 0 \\ \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 & = & 15 \\ x_1 + x_2 & = & -(-8) = 8 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 5 \end{array}\]
Dessa är \( x\)-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

Steg 4   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan:

\( {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, \):

\[ f''(x) \, = \, 6\,x - 24 \]
\[ f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \]

\( {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 5} \, \):

\[ f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \]
\[ f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \]

Steg 5   Beräkna de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:

\[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
\[ f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
\[ f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]


b)   Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, 1 \, \) och \( \, 7 \) och jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:

\[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
\[ f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 \]
\[ f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 \]
Lokala minimivärdet var \( \, 6 \, \), se a).
\[ -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde.} \]
Lokala maximivärdet var \( \, 10 \, \), se a).
\[ 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde.} \]
De globala extremvärdena \( \, -10 \, \) och \( \, 26 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter därför att intervallet \( \, 1 \leq x \leq 7 \, \) är slutet.


c)   Information från a) om lokala och från b) om globala extrema ger följande skisser:

Fullstandig kurvkonstruktion 1 80.jpg


Förutsätts kontinuitet hos \( \, f(x) -\) vilket vi kan göra pga att \( f(x) \) är en polynomfunktion \(-\) kan vi förbinda kurvsnuttarna från den högra bilden till följande kontinuerlig skiss:
Fullstandig kurvkonstruktion 2 80.jpg


d)   Grafräknaren ger:

Fullstandig kurvkonstruktion 3 80.jpg




Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=3.4_Kurvkonstruktioner&oldid=20680"