Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 5b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) (Skapade sidan med 'Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek (omnumrerade): :::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\...') |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (7 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek | + | Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek och omnumrerade: |
:::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ | :::<math> \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ | ||
| Rad 6: | Rad 6: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">andraderivata</span></strong>]]: | + | Lösning med [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">regler om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]]: |
| − | ::<math> \begin{array}{rcl} f | + | ::<math> \begin{array}{rcl} f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \\ |
| − | f''(x) & = & | + | f'(x) & = & x^3 - 4\,x \\ |
| + | f''(x) & = & 3\,x^2 - 4 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | <b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = | + | <b>Nollställe 1:</b> <math> {\color{White} x} x_1 = -2 </math> |
| − | + | <math> f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_1 = -2 \, </math>. | |
| − | + | <b>Nollställe 2:</b> <math> {\color{White} x} x_2 = 0 </math> | |
| − | + | <math> f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett maximum i <math> x_2 = 0 \, </math>. | |
| − | <b>Nollställe | + | <b>Nollställe 3:</b> <math> {\color{White} x} x_3 = 2 </math> |
| − | + | <math> f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_3 = 2 \, </math>. | |
| − | :: | + | Alla extrempunkter<span style="color:black">:</span> |
| − | + | <math> x_1 = -2 \, </math> är en minimipunkt. | |
| − | + | <math> x_2 = 0 \, </math> är en maximipunkt. | |
| − | + | <math> x_3 = 2 \, </math> är en minimipunkt. | |
| − | + | Att dessa är <u>alla</u> extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom som enligt [[1.2_Fördjupning_till_Faktorisering_av_Polynom#Algebrans_fundamentalsats|<strong><span style="color:blue">Algebrans fundamentalsats</span></strong>]] inte kan ha fler än 3 nollställen. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Nuvarande version från 13 december 2014 kl. 21.20
Derivatans nollställen från 5a) sorterade efter storlek och omnumrerade:
- \[ \begin{array}{rcl} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & 0 \\ x_3 & = & 2 \end{array}\]
Lösning med regler om maxima och minima med andraderivata:
- \[ \begin{array}{rcl} f(x) & = & {x^4 \over 4} \, - \, 2\,x^2 \\ f'(x) & = & x^3 - 4\,x \\ f''(x) & = & 3\,x^2 - 4 \end{array}\]
Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = -2 \)
\( f''(-2) \, = \, 3\cdot (-2)^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( x_1 = -2 \, \).
Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = 0 \)
\( f''(0) \, = \, 3\cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( x_2 = 0 \, \).
Nollställe 3: \( {\color{White} x} x_3 = 2 \)
\( f''(2) \, = \, 3\cdot 2^2 - 4 = 8 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( x_3 = 2 \, \).
Alla extrempunkter:
\( x_1 = -2 \, \) är en minimipunkt.
\( x_2 = 0 \, \) är en maximipunkt.
\( x_3 = 2 \, \) är en minimipunkt.
Att dessa är alla extrempunkter och det inte finns fler, beror på att derivatan är ett 3:e gradspolynom som enligt Algebrans fundamentalsats inte kan ha fler än 3 nollställen.
