Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 2b"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med 'Vi deriverar en gång: ::<math> f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math> ::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math> För att få reda på derivatans nollställe sätter vi...')
 
m
 
(21 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 5: Rad 5:
 
::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math>
 
::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math>
  
−
För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till <math> \, 0 </math> och beräknar den tidpunkt <math> x \, </math> då derivatan blir <math> \, 0 </math>:
+
I [[3.2_Lösning_1a|<strong><span style="color:blue">övning 1a</span></strong>]] hade vi beräknat derivatans nollställe:
  
 
::<math>\begin{array}{rcrcl}  f'(x) & = &  - 18\,x + 6 & = & 0    \\
 
::<math>\begin{array}{rcrcl}  f'(x) & = &  - 18\,x + 6 & = & 0    \\
−
                                    &  &            6 & = & 18\,x \\
+
                                     &  &            x & = & {1 \over 3} & \approx 0,33
−
                                    &  & {6 \over 18} & = & x    \\
+
−
                                     &  &            x & = & {1 \over 3}
+
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
−
Därmed är det bevisat att <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är en extrempunkt. För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum undersöker vi extrempunktens närmaste omgivning:
+
För att avgöra om extrempunkten <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten.
  
 +
Vi väljer t.ex. punkterna <math> \, x = 0,3 </math> till vänster och <math> \, x = 0,4 </math> till höger om extrempunkten och sätter in dem i deriuvatan:
  
 +
::<math> f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 </math>
  
−
Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> \displaystyle x = {1 \over 3} \, </math>.
+
::<math> f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 </math>
  
−
Efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund har Yulia nått sin högsta höjd.
+
Resultaten skrivs i en teckentabell:
 +
 
 +
                <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;">
 +
  <tr>
 +
    <td><math>x</math></td>
 +
    <td><math>0,3</math></td>
 +
    <td><math>{1/3}</math></td>
 +
                        <td><math>0,4</math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> f\,'(x) </math></td>
 +
    <td><math>+</math></td>
 +
    <td><math>0</math></td>
 +
    <td><math>-</math></td>
 +
  </tr>
 +
  <tr>
 +
    <td><math> \,f(x) </math></td>
 +
    <td> <strong><big><big>&#8599;</big></big></strong> </td>
 +
    <td> Max </td>
 +
    <td> <strong><big><big>&#8600;</big></big></strong> </td>
 +
  </tr>
 +
</table>
 +
 
 +
Eftersom <math> f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 </math> och derivatan byter tecken från <math>+</math> till <math> - </math> kring <math> \displaystyle {1 \over 3} </math> har funktionen <math> f(x)\, </math> ett maximum i <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} </math>. Eller:
 +
 
 +
Eftersom <math> f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 </math> och funktionen <math> f(x)\, </math> är växande till vänster om och avtagande till höger om <math> \displaystyle {1 \over 3} </math> föreligger ett maximum i <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} </math>.
 +
 
 +
Yulia når sin högsta höjd efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund.

Nuvarande version från 8 december 2014 kl. 21.17

Vi deriverar en gång:

\[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
\[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]

I övning 1a hade vi beräknat derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & x & = & {1 \over 3} & \approx 0,33 \end{array}\]

För att avgöra om extrempunkten \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten.

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 0,3 \) till vänster och \( \, x = 0,4 \) till höger om extrempunkten och sätter in dem i deriuvatan:

\[ f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 \]
\[ f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 \]

Resultaten skrivs i en teckentabell:

\(x\) \(0,3\) \({1/3}\) \(0,4\)
\( f\,'(x) \) \(+\) \(0\) \(-\)
\( \,f(x) \) ↗ Max ↘

Eftersom \( f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \displaystyle {1 \over 3} \) har funktionen \( f(x)\, \) ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \). Eller:

Eftersom \( f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 \) och funktionen \( f(x)\, \) är växande till vänster om och avtagande till höger om \( \displaystyle {1 \over 3} \) föreligger ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \).

Yulia når sin högsta höjd efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=3.2_Lösning_2b&oldid=18946"