Skillnad mellan versioner av "3.2 Lösning 1a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med 'a)   <math> f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 </math> ::<math> f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 </math> ::<math> f''(x) \, = \, 0,48 </math> Image: Ex 1 Vinternatt Funk...')
 
m
 
(19 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
a) &nbsp; <math> f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 </math>
+
Vi deriverar två gånger:
  
−
::<math> f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 </math>
+
::<math> f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 </math>
  
−
::<math> f''(x) \, = \, 0,48 </math>
+
::<math> f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 </math>
  
−
[[Image: Ex 1 Vinternatt Funktionen.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Ex 1 Vinternatt Derivatana.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Ex 1 Vinternatt Andraderivatan.jpg]]
+
::<math> f''(x) \, = \, - 18 </math>
−
----
+
  
 +
För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till <math> \, 0 </math> och beräknar den tidpunkt <math> x \, </math> då derivatan blir <math> \, 0 </math>:
  
−
b) &nbsp; För att få reda på derivatans nollställe som [[3.2_Maxima_och_minima#Regler_om_maxima_och_minima_med_andraderivata|<strong><span style="color:blue">reglerna om maxima och minima med andraderivata</span></strong>]] kräver sätter vi derivatan till <math> \, 0 </math> och beräknar tidpunkten <math> x \, </math> då derivatan blir <math> \, 0 </math>:
+
::<math>\begin{array}{rcrcl}  f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0     \\
−
 
+
                                     &  &           6 & = & 18\,x \\
−
::<math>\begin{array}{rcrcl}  f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0   \\
+
                                     &  & {6 \over 18} & = & x    \\
−
                                     &  & 0,48\,x      & = & 2,4 \\
+
                                     &  &           x & = & {1 \over 3} 
−
                                     &  &      x      & = & {2,4 \over 0,48} \\
+
−
                                     &  &       x       & = & 5
+
 
   \end{array}</math>
 
   \end{array}</math>
 +
Därmed är det bevisat att <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> är en extrempunkt.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Nu vet vi att derivatan blir <math> \, 0 </math> i <math> x = 5 \, </math> dvs tangenten till kurvan <math> y = f(x) \, </math> har lutningen <math> 0\, </math> dvs är horisontell i <math> x = 5 \, </math>. Men en horisontell tangent kan vara ett maximum eller ett minimum.
+
För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum sätter vi <math> \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, </math> in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
−
 
+
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att avgöra om det föreligger ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken. Därför sätter vi <math> x = 5 \, </math> in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
+
  
−
::<math> f''(5) = 0,48 \,>\, 0 </math>
+
::<math> f''\left({1 \over 3}\right) = - 18 \,<\, 0 </math>
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Andraderivatan är positiv (konstant) för alla <math> x \, </math> och därmed även för <math> x = 5 \, </math>. Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett minimum i <math> x_{min} = 5 \, </math>.
+
Andraderivatan är negativ för <math> \displaystyle x = {1 \over 3} \, </math>. Därav följer att <math> f(x) \, </math> har ett maximum i <math> \displaystyle x = {1 \over 3} \, </math>.
  
−
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl <math> 5 \, </math>.
+
Yulia når sin högsta höjd efter <math> \, \displaystyle {1 \over 3} \, </math> sekund.

Nuvarande version från 8 december 2014 kl. 21.04

Vi deriverar två gånger:

\[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]
\[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]
\[ f''(x) \, = \, - 18 \]

För att få reda på derivatans nollställe sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & 6 & = & 18\,x \\ & & {6 \over 18} & = & x \\ & & x & = & {1 \over 3} \end{array}\]

Därmed är det bevisat att \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är en extrempunkt.

För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum sätter vi \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ f''\left({1 \over 3}\right) = - 18 \,<\, 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( \displaystyle x = {1 \over 3} \, \). Därav följer att \( f(x) \, \) har ett maximum i \( \displaystyle x = {1 \over 3} \, \).

Yulia når sin högsta höjd efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=3.2_Lösning_1a&oldid=18932"