Skillnad mellan versioner av "2.6 Övningar till Derivatan av exponentialfunktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Övning 5) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Övning 8) |
||
| (61 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
b) <math> {\color{White} x} y = e\,^{2\,x} </math> | b) <math> {\color{White} x} y = e\,^{2\,x} </math> | ||
| − | c) <math> {\color{White} x} y = 3\ | + | c) <math> {\color{White} x} y = 3\, e\,^x </math> |
| − | d) <math> {\color{White} x} y = 4\ | + | d) <math> {\color{White} x} y = 4\, e\,^{5\,x} </math> |
e) <math> {\color{White} x} y = 16\cdot e\,^{-3\,x} </math> | e) <math> {\color{White} x} y = 16\cdot e\,^{-3\,x} </math> | ||
| Rad 31: | Rad 31: | ||
g) <math> {\color{White} x} y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} </math> | g) <math> {\color{White} x} y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} </math> | ||
| − | </div> {{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.5 Svar 1a|Svar 1b|2.5 Svar 1b|Svar 1c|2.5 Svar 1c|Svar 1d|2.5 Svar 1d|Svar 1e|2.5 Svar 1e|Svar 1f|2.5 Svar 1f|Svar 1g|2.5 Svar | + | </div> {{#NAVCONTENT:Svar 1a|2.5 Svar 1a|Svar 1b|2.5 Svar 1b|Svar 1c|2.5 Svar 1c|Svar 1d|2.5 Svar 1d|Svar 1e|2.5 Svar 1e|Svar 1f|2.5 Svar 1f|Svar 1g|2.5 Svar 1g}} |
<!-- Alternativt: | <!-- Alternativt: | ||
:<small><small>[[2.5 Svar 1a|Svar 1a]] | [[2.5 Svar 1b|Svar 1b]] | [[2.5 Svar 1c|Svar 1c]] | [[2.5 Svar 1d|Svar 1d]] | [[2.5 Svar 1e|Svar 1e]] | [[2.5 Svar 1f|Svar 1f]] | [[2.5 Svar 1g|Svar 1g]] | [[2.5 Lösning 1g|Lösning 1g]]</small></small> --> | :<small><small>[[2.5 Svar 1a|Svar 1a]] | [[2.5 Svar 1b|Svar 1b]] | [[2.5 Svar 1c|Svar 1c]] | [[2.5 Svar 1d|Svar 1d]] | [[2.5 Svar 1e|Svar 1e]] | [[2.5 Svar 1f|Svar 1f]] | [[2.5 Svar 1g|Svar 1g]] | [[2.5 Lösning 1g|Lösning 1g]]</small></small> --> | ||
| Rad 49: | Rad 49: | ||
e) <math> {\color{White} x} y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} </math> | e) <math> {\color{White} x} y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} </math> | ||
| − | f) <math> {\color{White} x} y = 5\,x - 2\,^{-3\,x} + 4 \, e\,^{0,5\,x} </math> | + | f) <math> {\color{White} x} y = 5\,x \, - \, 2\,^{-3\,x} \, + \, 4 \, e\,^{0,5\,x} </math> |
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.5 Svar 3a|Lösning 2a|2.5 Lösning 3a|Svar 2b|2.5 Svar 3b|Lösning 2b|2.5 Lösning 3b|Svar 2c|2.5 Svar 3c|Lösning 2c|2.5 Lösning 3c|Svar 2d|2.5 Svar 3d|Lösning 2d|2.5 Lösning 3d|Svar 2e|2.5 Svar 3e|Lösning 2e|2.5 Lösning 3e|Svar 2f|2.5 Svar 3f|Lösning 2f|2.5 Lösning 3f}} | </div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.5 Svar 3a|Lösning 2a|2.5 Lösning 3a|Svar 2b|2.5 Svar 3b|Lösning 2b|2.5 Lösning 3b|Svar 2c|2.5 Svar 3c|Lösning 2c|2.5 Lösning 3c|Svar 2d|2.5 Svar 3d|Lösning 2d|2.5 Lösning 3d|Svar 2e|2.5 Svar 3e|Lösning 2e|2.5 Lösning 3e|Svar 2f|2.5 Svar 3f|Lösning 2f|2.5 Lösning 3f}} | ||
| Rad 96: | Rad 96: | ||
== Övning 6 == | == Övning 6 == | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| − | + | Om exponentialfunktionen | |
| − | ::<math> | + | ::<math> f(x) = C \cdot e\,^{k\,x} </math> |
| − | + | vet man att <math> \,f(0) = 50 </math> och att <math> f\,′\,(0) = 5 </math>. | |
| − | + | Bestäm konstanterna <math> \,C </math>, <math> \,k </math> och specificera <math> \,f(x) </math>. | |
| − | + | </div> {{#NAVCONTENT:Svar 6|2.5 Svar 6|Lösning 6|2.5 Lösning 6}} | |
| − | + | <!-- Ma 1000, sid 63, övn. 324, facit sid 74 --> | |
| − | </div> {{#NAVCONTENT:Svar | + | |
| − | <!-- | + | |
| − | + | ||
| Rad 116: | Rad 113: | ||
== Övning 7 == | == Övning 7 == | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| − | + | Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen: | |
| − | ::<math> | + | :::::<math> B\,(t) \; = \; C \cdot e\,^{k\,t} </math> |
| − | i | + | där <math> B\,(t) </math> är antalet bakterier efter <math> \, t \, </math> timmar och <math> \,C </math> och <math> \,k </math> vissa konstanter. |
| + | |||
| + | I början mättes <math> 150\, </math> bakterier i mjölken. Efter <math> 8\, </math> timmar förökar sig bakterierna med <math> 350\, </math> i timmen. | ||
| + | |||
| + | Bestäm konstanterna <math> \,C </math>, <math> \,k </math>, specificera modellen och använd den för att besvara frågan: | ||
| + | |||
| + | Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit <math> 2\,000 </math> då mjölken anses blivit sur? | ||
| + | |||
| + | Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Digital beräkning av nollställen</span></strong>]], speciellt [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#EQUATION_SOLVER|<strong><span style="color:blue">EQUATION SOLVER</span></strong>]]. | ||
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.5 Svar 7|Lösning 7|2.5 Lösning 7}} | </div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.5 Svar 7|Lösning 7|2.5 Lösning 7}} | ||
| Rad 128: | Rad 133: | ||
== Övning 8 == | == Övning 8 == | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| − | + | En affärsman hittades mördad på sitt kontor. Vid obduktionen kl 20 mätte specialister i rättsmedicin hans kroppstemperatur till 31 grader Celsius. Kl 21 konstaterade de att kroppstemperaturen minskade med 0,07 grader i timmen. Rumstemperaturen på kontoret och vid obduktionen var 18 grader Celsius. | |
| + | |||
| + | Man vet att en kropps temperatur <math> T\, </math> sjunker exponentiellt med tiden enligt modellen: | ||
| + | |||
| + | :::<math> T\,(t) \,=\, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r </math> | ||
| − | + | <math>\begin{array}{lrcl} {\rm där} \;\; & T_0 & = & {\rm starttemperaturen\;vid\;\,} t = 0 \\ | |
| + | & T_r & = & {\rm omgivningens\;temperatur,\;här\;rumstemperaturen} \\ | ||
| + | & t & = & {\rm tiden\;i\;minuter} \\ | ||
| + | & k & = & {\rm kroppens\; materialkonstant} | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| − | + | När skedde mordet? | |
| − | + | Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Digital beräkning av nollställen</span></strong>]], speciellt [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#EQUATION_SOLVER|<strong><span style="color:blue">EQUATION SOLVER</span></strong>]]. | |
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 8|2.5 Svar 8|Lösning 8|2.5 Lösning 8}} | </div> {{#NAVCONTENT:Svar 8|2.5 Svar 8|Lösning 8|2.5 Lösning 8}} | ||
Nuvarande version från 13 november 2014 kl. 15.23
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
E-övningar: 1-4
Övning 1
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
a) \( {\color{White} x} y = e\,^x + 8 \)
b) \( {\color{White} x} y = e\,^{2\,x} \)
c) \( {\color{White} x} y = 3\, e\,^x \)
d) \( {\color{White} x} y = 4\, e\,^{5\,x} \)
e) \( {\color{White} x} y = 16\cdot e\,^{-3\,x} \)
f) \( {\color{White} x} y = - x + e\,^{-0,5\,x} \)
g) \( {\color{White} x} y = 1 + e\,^{-2\,x} + 2\,e\,^{4\,x} \)
Hämtar...Övning 2
Derivera:
a) \( {\color{White} x} y = 10\,^x \)
b) \( {\color{White} x} y = 2\,^x - 6 \)
c) \( {\color{White} x} y = 4\cdot 5\,^x \)
d) \( {\color{White} x} y = -7\cdot 10\,^{-x} \)
e) \( {\color{White} x} y = 9\cdot 3\,^{-4\,x} \)
f) \( {\color{White} x} y = 5\,x \, - \, 2\,^{-3\,x} \, + \, 4 \, e\,^{0,5\,x} \)
Övning 3
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = e\,^x \) i punkten \( (0, 1)\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
Övning 4
Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( f(x) = 2\,^x \) i punkten (med x-koordinaten) \( x = 0\, \).
För att få en illustrativ bild av lösningen rekommenderas att du ritar kurvan och tangenten i samma koordinatsystem.
C-övningar: 5-6
Övning 5
Ställ upp derivatan av följande funktioner:
a) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {e\,^x + \, e\,^{-x} \over 2} \)
b) \( \displaystyle {\color{White} x} y = {3\,^x + \, 3\,^{-x} \over 3} \)
Övning 6
Om exponentialfunktionen
- \[ f(x) = C \cdot e\,^{k\,x} \]
vet man att \( \,f(0) = 50 \) och att \( f\,′\,(0) = 5 \).
Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \) och specificera \( \,f(x) \).
A-övningar: 7-8
Övning 7
Bakterier i en liter mjölk förökar sig enligt modellen:
- \[ B\,(t) \; = \; C \cdot e\,^{k\,t} \]
där \( B\,(t) \) är antalet bakterier efter \( \, t \, \) timmar och \( \,C \) och \( \,k \) vissa konstanter.
I början mättes \( 150\, \) bakterier i mjölken. Efter \( 8\, \) timmar förökar sig bakterierna med \( 350\, \) i timmen.
Bestäm konstanterna \( \,C \), \( \,k \), specificera modellen och använd den för att besvara frågan:
Efter hur många timmar och minuter har antalet bakterier överstigit \( 2\,000 \) då mjölken anses blivit sur?
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se Digital beräkning av nollställen, speciellt EQUATION SOLVER.
Övning 8
En affärsman hittades mördad på sitt kontor. Vid obduktionen kl 20 mätte specialister i rättsmedicin hans kroppstemperatur till 31 grader Celsius. Kl 21 konstaterade de att kroppstemperaturen minskade med 0,07 grader i timmen. Rumstemperaturen på kontoret och vid obduktionen var 18 grader Celsius.
Man vet att en kropps temperatur \( T\, \) sjunker exponentiellt med tiden enligt modellen:
- \[ T\,(t) \,=\, (T_0 - T_r)\cdot e\,^{k\,t} \,+\, T_r \]
\(\begin{array}{lrcl} {\rm där} \;\; & T_0 & = & {\rm starttemperaturen\;vid\;\,} t = 0 \\ & T_r & = & {\rm omgivningens\;temperatur,\;här\;rumstemperaturen} \\ & t & = & {\rm tiden\;i\;minuter} \\ & k & = & {\rm kroppens\; materialkonstant} \end{array}\)
När skedde mordet?
Använd digitala hjälpmedel för att lösa ekvationer. Se Digital beräkning av nollställen, speciellt EQUATION SOLVER.
