Skillnad mellan versioner av "2.5 Fördjupning till Deriveringsregler"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(61 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 10: Rad 10:
  
  
−
[[Media: Rutor_Lekt26_27_Deriveringsregler.pdf|Lektion 26 Deriveringsregler I]]
+
[[Media: Lektion 19 Deriveringsregler I Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 19 Deriveringsregler I</span></strong>]]
  
−
[[Media: Rutor_Lekt26_27_Deriveringsregler.pdf|Lektion 27 Deriveringsregler II]]
+
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
  
 
__TOC__
 
__TOC__
Rad 19: Rad 19:
 
== Bevis av deriveringsreglerna ==
 
== Bevis av deriveringsreglerna ==
  
−
I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och (delvis) bevisa regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. De kallas <strong><span style="color:red">deriveringsregler</span></strong>. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man <strong><span style="color:red">använda</span></strong> reglerna i fortsättningen utan att behöva härleda dem.  
+
Att använda deriveringsreglerna är en sak, att bevisa dem en annan.
  
−
I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en [[2.4_Deriveringsregler#Tabell_.C3.B6ver_deriveringsregler|tabell]] som vi kommer att använda hela tiden.  
+
Av praktiska skäl har vi bestämt oss för att behandla användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av deriveringsreglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt. Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i Skolverkets kursplan för Matematik 3 och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver gränsövergången med Limes.  
  
−
Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i Matte 3c-kursens övningar.
+
Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt:
  
−
I förra avsnitt hade vi ställt upp derivatans definition för en funktion <math> y = f(x)\, </math> i en viss punkt <math> x = a\, </math>. Låter vi <math> a\, </math> variera, kan vi skriva derivatans definition så här:
 
  
 +
<div style="border:1px solid black;
 +
display:inline-block !important;
 +
margin-left: 200px !important;
 +
padding:10px 20px 10px 20px;
 +
border-radius: 15px;">
 +
<big><b>Derivatans definition:</b>
  
−
:::::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} </math>
+
Om <math> {\color{White} x} y \,=\, f(x) </math>
  
−
 
+
då <math> {\color{White} x} y\,' \,=\, f\,'(x) \,=\, \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} </math>
−
Denna definition kommer att ligga till grund för alla våra bevis för deriveringsreglerna i detta avsnitt.
+
</big></div>
  
  
Rad 49: Rad 54:
 
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = c\, </math> kan vi skriva:
 
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = c\, </math> kan vi skriva:
  
−
::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 </math>
+
:::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 </math>
  
−
Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man när man preciserar den givna funktionen <math> f(x) = c\, </math> genom att betona <strong><span style="color:red">för alla </span></strong> <math> {\color{Red} x} </math>. Dvs funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math> i <math> \,f(x)</math>. Detta även om man sätter in ett uttryck för <math> x\, </math>, i det här fallet <math> x+h\, </math>.
+
Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man när man tolkar den givna funktionen <math> f(x) = c\, </math> så att den gäller  <strong><span style="color:red">för alla </span></strong> <math> {\color{Red} x} </math>, även om <math> x\, </math> inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math>. Detta även om man sätter in ett uttryck för <math> x\, </math>, i det här fallet <math> x+h\, </math>.
  
 
'''Exempel:'''
 
'''Exempel:'''
Rad 57: Rad 62:
 
För funktionen <math> f(x) = -5\, </math> blir derivatan:
 
För funktionen <math> f(x) = -5\, </math> blir derivatan:
  
−
::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 </math>
+
:::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 </math>
 +
 
 +
Att <math> f(x+h) = -5 </math> beror på att funktionen <math> \,f(x)</math>:s värde alltid är <math> \,-5 </math> oavsett vad man sätter in för <math> x\, </math>, även om det är <math> x+h\, </math> som man sätter in.
  
  
Rad 83: Rad 90:
 
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan:
 
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan:
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 </math>
+
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 </math>
 +
 
 +
Att <math> f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= -8\,x + 9 </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>.
  
  
Rad 145: Rad 154:
 
:<math> {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 </math>
 
:<math> {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 </math>
  
−
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3</math>
+
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 </math>
  
  
−
== Derivatan av 1 / x ==
+
== Derivatan av <math> \displaystyle {1 \over x} </math> ==
−
'''Påstående''':<big>
+
 
 +
'''Påstående:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
Om <math> \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} </math>
 +
 
 +
då <math> \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} </math>
 +
 
 +
</big></div>
  
−
:::::::Om <math> \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} </math>
 
  
−
:::::::då <math> \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} </math>
 
−
</big>
 
 
'''Bevis''' (med derivatans definition):
 
'''Bevis''' (med derivatans definition):
  
Rad 163: Rad 176:
 
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} </math>
 
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} </math>
  
−
'''Alternativt''' (med deriveringsregeln för potenser):
+
'''Alternativt''' (med deriveringsregeln för potenser): Se [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]].
  
−
::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
 
  
−
::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
+
== Derivatan av <math> \sqrt{x} </math> ==
  
 +
'''Påstående:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
Om <math> f(x) \; = \; \sqrt{x} </math>
  
−
== Derivatan av Roten ur x ==
+
då <math> f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
−
'''Påstående''':<big>
+
  
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; \sqrt{x} </math>
+
</big></div>
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
 
−
</big>
 
−
'''Bevis''' (med deriveringsregeln för potenser):
 
  
−
::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
+
'''Bevis''' (med deriveringsregeln för potenser): Se [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]]
−
 
+
−
::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
  
  
 
== Derivatan av ett polynom ==
 
== Derivatan av ett polynom ==
  
−
Hittills har vi betraktat isolerade termer. Men hur blir det om de summeras med varandra och på så sätt sammansätts till ett polynom?
+
'''Påstående:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>En polynomfunktion deriveras termvis:</b>
  
−
'''Exempel''':
+
Om <math> f(x)    =  a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a </math>
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
+
då <math> f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 </math>
  
−
:::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
+
</big></div>
  
  
−
'''Sats''':<big>
+
'''Bevis:'''
−
::::En polynomfunktion deriveras termvis, dvs:
+
  
−
::::::Om <math> f(x)    = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a </math>
+
Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först använda regeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">derivatan av en potensfunktion</span></strong>]] och sedan kombinera den med regeln för [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]].
  
−
::::::då <math> f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 </math>
+
'''Exempel''':
−
</big>
+
 
 +
För polynomfunktionen <math> f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 </math> blir derivatan:
 +
 
 +
:::::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 </math>
  
  
−
'''Exempel''':
 
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = {1 \over 2}\,x^4\,+\,{5 \over 6}\,x^3\,-\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 </math> blir derivatan:
 
  
−
:::::<math> f\,'(x) \, = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x + 12 = 2\,x^3 + {5 \over 2}\,x^2 - 1,6\,x + 12 </math>
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 10 november 2014 kl. 11.57

       <-- Förra avsnitt          Teori          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt -->      


Lektion 19 Deriveringsregler I

Lektion 20 Deriveringsregler II


Bevis av deriveringsreglerna

Att använda deriveringsreglerna är en sak, att bevisa dem en annan.

Av praktiska skäl har vi bestämt oss för att behandla användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av deriveringsreglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt. Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i Skolverkets kursplan för Matematik 3 och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver gränsövergången med Limes.

Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt:


Derivatans definition:

Om \( {\color{White} x} y \,=\, f(x) \)

då \( {\color{White} x} y\,' \,=\, f\,'(x) \,=\, \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \)


Derivatan av en konstant

Påstående:

Derivatan av en konstant är 0.

Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]

Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man tolkar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) så att den gäller för alla \( {\color{Red} x} \), även om \( x\, \) inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]

Att \( f(x+h) = -5 \) beror på att funktionen \( \,f(x)\):s värde alltid är \( \,-5 \) oavsett vad man sätter in för \( x\, \), även om det är \( x+h\, \) som man sätter in.


Derivatan av en linjär funktion

Påstående:

Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)

Bevis:

Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]

Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).

Exempel:

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]

Att \( f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 \) inser man när man i funktionen \( f(x)= -8\,x + 9 \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).


Derivatan av en kvadratisk funktion

Påstående:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.

Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)

Bevis:

Först ställer vi upp de uttryck som förekommer i derivatans definition.

För att ställa upp \( f\,(x+h) \) ersätter vi \( x\, \) med \( x+h\, \) i funktionen \( f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \) :

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & a\,(x+h)^2 + b\,(x+h) + c & = \\ & = & a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) + b\,x + b\,h + c & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - (a\,x^2 + b\,x + c) & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ & = & 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h & = \\ \end{array}\]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h \over h} = {h\cdot (2\,a\,x\ + a\,h + b) \over h} = 2\,a\,x\ + a\,h + b \]

Sedan tillämpar vi derivatans definition genom att bilda gränsvärdet:

\[ f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b \]

Exempel:

För funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) bildas derivatan steg för steg med hjälp av derivatans definition:

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & 5\,(x+h)^2 - 3\,(x+h) + 6 & = \\ & = & 5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 3\,x - 3\,h + 6 & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - (5\,x^2 - 3\,x + 6) & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - 5\,x^2 + 3\,x - 6 & = \\ & = & 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h & = \\ \end{array}\]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 \]

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 \]


Derivatan av \( \displaystyle {1 \over x} \)

Påstående:

Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)

då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)


Bevis (med derivatans definition):

\[ f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} \]

\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} \]

\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} \]

Alternativt (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 2.


Derivatan av \( \sqrt{x} \)

Påstående:

Om \( f(x) \; = \; \sqrt{x} \)

då \( f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)


Bevis (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 3


Derivatan av ett polynom

Påstående:

En polynomfunktion deriveras termvis:

Om \( f(x) = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a \)

då \( f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 \)


Bevis:

Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först använda regeln för derivatan av en potensfunktion och sedan kombinera den med regeln för derivatan av en summa av funktioner.

Exempel:

För polynomfunktionen \( f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 \]



Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler&oldid=17292"