Skillnad mellan versioner av "2.5 Deriveringsregler"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Derivatan av 1 / x)
m
 
(223 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Not selected tab|[[2.4 Derivatans definition|<-- Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Teori]]}}
 
{{Selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Teori]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.5 Övningar till Deriveringsregler|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
[[Media: Rutor_Lekt26_27_Deriveringsregler.pdf|Lektion 26 Deriveringsregler I]]
 
  
−
[[Media: Rutor_Lekt26_27_Deriveringsregler.pdf|Lektion 27 Deriveringsregler II]]
+
[[Media: Lektion 19 Deriveringsregler I Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 19 Deriveringsregler I</span></strong>]]
 +
 
 +
[[Media: Lektion 20 Deriveringsregler II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 20 Deriveringsregler II</span></strong>]]
  
 
__TOC__
 
__TOC__
  
−
I detta avsnitt kommer vi att gå igenom och (delvis) bevisa regler som ska hjälpa oss att derivera de viktigaste typer av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition direkt. De kallas <strong><span style="color:blue">deriveringsregler</span></strong>. I bevisen tillämpas derivatans definition en gång för alla på respektive funktionstyp. Sedan kan man <strong><span style="color:blue">använda</span></strong> reglerna i fortsättningen utan att behöva härleda dem.
 
  
−
I slutet kommer vi att sammanställa alla deriveringsregler i en [[2.4_Deriveringsregler#Tabell_.C3.B6ver_deriveringsregler|tabell]] som vi kommer att använda hela tiden.  
+
Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken [[2.5 Fördjupning till Deriveringsregler|<strong><span style="color:blue">Fördjupning</span></strong>]].
  
−
Ur praktisk problemlösningssynpunkt är därför det här avsnittet om inte det viktigaste, så dock det mest använda i Matte 3c-kursens övningar.
+
== Derivatan av en konstant ==
  
−
I förra avsnitt hade vi ställt upp derivatans definition för en funktion <math> y = f(x)\, </math> i en viss punkt <math> x = a\, </math>. Låter vi <math> a\, </math> variera, kan vi skriva derivatans definition så här:
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en konstant är 0.</b>
  
 +
Om <math> {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
  
−
:::::::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} </math>
+
då <math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 </math>.
 +
</big></div>
  
  
−
Denna definition kommer att ligga till grund för alla våra bevis för deriveringsreglerna i detta avsnitt.
+
'''Exempel:'''
  
−
== Derivatan av en konstant ==
+
För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} </math> blir derivatan:
  
−
'''Exempel''':
+
:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 </math>
  
−
För funktionen <math> f(x) = -5\, </math> blir derivatan:
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
  
−
::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 </math>
 
  
 +
== Derivatan av en linjär funktion ==
  
−
'''Påstående''':<big>
+
'''Regel:'''
−
::::<b>En konstants derivata är 0</b>, dvs:
+
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en linjär funktion är konstant.</b>
  
−
:::::::Om <math> f(x) = c \quad {\rm och} \quad c = {\rm const.} </math>
+
Om <math> f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } </math>
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) = 0 </math>
+
då <math> f\,'(x) \; = \; k </math>
−
</big>
+
</big></div>
−
'''Bevis''':
+
  
−
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = c\, </math> kan vi skriva:
 
  
−
::::<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 </math>
+
'''Exempel:'''
  
−
Att <math> f(x+h) = c\, </math> inser man när man preciserar den givna funktionens definiton: <math> f(x) = c\, </math> för <u>alla</u> <math> x\, </math>. Dvs funktionen <math> f(x)\, </math>:s värde är alltid konstanten <math> c\, </math> oavsett vilket <math> x\, </math> man använder i <math> f(x)\, </math>, även om <math> x\, </math> är ett uttryck, i det här fallet <math> x+h\, </math>.
+
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan:
  
−
== Derivatan av en linjär funktion ==
+
:::::<math> f\,'(x) = -8 </math>
  
−
'''Exempel''':
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_linjär_funktion|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
  
−
För funktionen <math> f(x) = -8\,x + 9 </math> blir derivatan:
 
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 </math>
+
== Derivatan av en kvadratisk funktion ==
  
 +
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.</b>
  
−
'''Påstående''':<big>
+
Om <math> f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } </math>
−
::::<b>En linjär funktions derivata är konstant</b>, närmare bestämt:
+
  
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm och} \quad k = {\rm const. } \quad m = {\rm const.} </math>
+
då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b </math>
 +
</big></div>
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; k </math>
 
−
</big>
 
−
'''Bevis''':
 
  
−
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = k\cdot x + m </math> kan vi skriva:
+
* '''Exempel 1:'''
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k </math>
+
:För funktionen <math> f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 </math> blir derivatan:
  
 +
::::::<math> f\,'(x) = 10\,x - 3 </math>
  
−
Att <math> f(x+h) = k\cdot (x+h) + m </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= k\cdot x + m </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>.
+
* '''Exempel 2:'''
  
−
== Derivatan av en kvadratisk term ==
+
:För funktionen &nbsp; <math> f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90</math> blir derivatan:
  
−
Vi börjar med den rena kvadratiska termen <math> x^2\, </math> och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.
+
::::::<math> f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x + 16 = - 50\,x + 16 </math>
  
−
'''Påstående''':<big>
+
'''Bevis:''' &nbsp;&nbsp; Se [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_kvadratisk_funktion|<strong><span style="color:blue">här</span></strong>]].
−
::::<b>En kvadratisk terms derivata är linjär</b>, närmare bestämt:
+
  
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; x^2 </math>
 
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,x </math>
+
== Derivatan av en potensfunktion ==
−
</big>
+
−
'''Bevis''':
+
  
−
Om vi tillämpar derivatans definition på <math> f(x) = x^2\, </math> kan vi skriva:
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.</b>
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {(x+h)^2 - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = </math>
+
::::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } </math>
  
 +
::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
  
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,x + h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) =  2\,x </math>
+
</big></div>
  
 +
Denna regel gäller för <strong><span style="color:red">ALLA exponenter</span></strong> <big><math> {\color{Red} n} </math></big>, dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.
  
−
Att <math> f(x+h) = (x+h)^2\, </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= x^2\, </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>.
+
<strong><span style="color:red">Konstanten</span></strong> <big><math> {\color{Red} a} </math></big> tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> får ingen tillämpning här, därför att konstanten <math> a\, </math> inte står ensam utan bildar i kombination med potensen <math> x\,^n </math> produkten <math> a \cdot x\,^n </math>. Konstanten <math> a\, </math> står som en faktor framför potensen, se regeln för  [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
  
−
----
+
'''Exempel:'''
  
 +
För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
  
 +
:::::<math> f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
  
−
Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför <math> x^2\, </math> t.ex. <math> 5\,x^2\, </math> ?
+
'''Specialfall''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <big><math> a \,=\, </math></big><math> 1\, </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:
  
−
'''Exempel''':
 
  
−
För funktionen <math> f(x) = 5\,x^2\, </math> blir derivatan:
+
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en potens:</b>
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {5\, (x+h)^2 - 5\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 5\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {10\,x\,h + 5\,h^2 \over h} = </math>
+
Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} </math>
  
 +
då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
  
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {h\,(10\,x + 5\,h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h) = 10\,x </math>
+
</big></div>
  
  
−
'''Påstående''':<big>
+
* '''Exempel 1''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> positivt heltal:
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; a\, x^2 \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.}</math>
+
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; 2\,\,a\,x </math>
+
:För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
−
</big>
+
−
'''Bevis''':
+
  
−
<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x+h)^2 - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - a\,x^2 \over h} = \lim_{h \to 0} {2\,a\,x\,h + a\,h^2 \over h} = </math>
+
::::::<math> f\,'(x) = 5\,x^4 </math>
  
 +
* '''Exempel 2''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> negativt heltal:
  
−
::<math> = \lim_{h \to 0} {h\,(2\,a\,x + a\,h) \over h} = \lim_{h \to 0} \, (2\,a\,x + a\,h) = 2\,a\,x </math>
+
:Derivera funktionen <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
  
 +
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \displaystyle {1 \over x} </math> till en potens:
  
−
Att <math> f(x+h) = a\,(x+h)^2\, </math> inser man när man i funktionen <math> f(x)= a\,x^2\, </math> ersätter <math> x\, </math> med <math> x+h\, </math>.
+
:::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
  
 +
:Därmed är <math> \,n = -1 </math> och vi kan sätta in <math> \, n = -1 </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
  
−
'''Exempel''':
+
:::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
  
−
För funktionen <math> f(x) = -25\,x^2 </math> blir derivatan:
+
* '''Exempel 3''' &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> n \,=\, </math> bråktal:
  
−
:::<math> f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x = - 50\,x </math>
+
:Derivera funktionen <math> f(x) = \sqrt{x} </math> med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
  
−
== Derivatan av en potens ==
+
:Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla <math> \sqrt{x} </math> till en potens:
  
−
Även här börjar vi med den rena termen <math> x^n\, </math> och fortsätter sedan med en sådan som har en konstant faktor (koefficient) framför sig.
+
:::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
  
−
'''Sats''':<big>
+
:Därmed är <math> n = {1 \over 2} </math> och vi kan sätta in <math> n = {1 \over 2} </math> i regeln för derivatan av en potens och får:
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm och} \quad n = {\rm const.} </math>
+
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} </math>
+
:::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
−
</big>
+
  
 +
:Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket <math> (x\,+\,h)\,^n </math> för alla rationella tal <math> n\, </math> kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
  
−
Denna regel gäller för <u>alla</u> <math> n\, </math>, dvs inte bara när <math> n\, </math> är att positivt utan även ett negativt heltal, ja t.o.m. när <math> n\, </math> är ett bråktal.
 
  
−
Eftersom beviset kräver att man utvecklar uttrycket <math> f(x) = (x+h)\,^n </math> för alla positiva och negativa heltal <math> n\, </math> och dessutom för bråktal kan vi inte genomföra beviset, för våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.
+
== Derivatan av en summa av funktioner ==
  
−
Regeln ovan kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi bevisat hittills är specialfall av denna allmänna regel för derivering av en potens. Vi börjar med exempel som har positiva heltalsexponenter och kommer att senare ta upp negativa heltalsexponenter samt bråktal i exponenten.
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>En summa av funktioner kan deriveras termvis:</b>
  
−
'''Exempel''':
+
:::Om <math> y    =  f(x) + g(x)\, </math>
  
−
För funktionen <math> f(x) = x^5\, </math> blir derivatan:
+
:::då <math> y\,'  =  f\,'(x) + g\,'(x) </math>
  
−
:::<math> f\,'(x) \, = 5\,x^4 </math>
+
</big></div>
  
−
----
 
  
 +
'''Exempel 1''':
  
−
Vad händer med derivatan om en konstant faktor (koefficient) står framför <math> x^n\, </math> t.ex. <math> 12\,x^n\, </math>?
+
För funktionen <math> \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} </math> blir derivatan:
  
 +
:::::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
  
−
<big>
+
Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm och} \quad n = {\rm const. } \quad a = {\rm const.} </math>
+
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} </math>
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math> &nbsp; och
−
</big>
+
  
 +
:::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
  
−
'''Exempel''':
+
Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.
  
−
För funktionen <math> f(x) = 12\,x^4\, </math> blir derivatan:
+
'''Exempel 2:'''
  
−
:::<math> f\,'(x) \, = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 </math>
+
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
  
−
== Derivatan av 1 / x ==
+
:::::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
−
'''Påstående''':<big>
+
  
−
:::::::Om <math> \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} </math>
+
Se även [[2.5_Fördjupning_till_Deriveringsregler#Derivatan_av_ett_polynom|<strong><span style="color:blue">Derivatan av ett polynom</span></strong>]].
  
−
:::::::då <math> \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} </math>
 
−
</big>
 
−
'''Bevis''' (med derivatans definition):
 
  
−
:<math> f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} </math>
+
== Derivatan av en funktion med en konstant faktor ==
  
−
:<math> {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} </math>
+
'''Regel:'''
 +
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:</b>
  
−
:<math> f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} </math>
+
::Om <math> y    = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
  
−
'''Alternativt''' (med deriveringsregeln för potenser):
+
::då <math> y\,' =  a\cdot f\,'(x) </math>
  
−
::<math> f(x) = {1 \over x} = x^{-1} </math>
+
</big></div>
  
−
::<math> f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} </math>
 
  
−
== Derivatan av Roten ur x ==
+
'''Exempel''':
−
'''Påstående''':<big>
+
  
−
:::::::Om <math> f(x) \; = \; \sqrt{x} </math>
+
För funktionen <math> y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} </math> blir derivatan:
  
−
:::::::då <math> f\,'(x) \; = \; {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
:::::<math> y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} </math>
−
</big>
+
−
'''Bevis''' (med deriveringsregeln för potenser):
+
  
−
::<math> f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} </math>
+
Även här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 3</span></strong>]], nämligen:
  
−
::<math> f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
::Derivatan av &nbsp; <math> f(x) = \sqrt{x} </math> &nbsp; är <math> &nbsp; f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>.
  
−
== Derivatan av ett polynom ==
 
  
−
Hittills har vi betraktat isolerade termer. Men hur blir det om de summeras med varandra och på så sätt sammansätts till ett polynom?
+
== Konstant faktor vs. additiv konstant ==
  
−
'''Exempel''':
+
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> &nbsp; en <strong><span style="color:red">konstant faktor</span></strong> i funktionsuttrycket.
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 </math> blir derivatan:
+
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_funktion_med_en_konstant_faktor|<strong><span style="color:blue">derivatan av en funktion med en konstant faktor</span></strong>]].
  
−
:::::<math> f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 </math>
+
I funktionen &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> \, 6 </math> en <strong><span style="color:red">additiv konstant</span></strong> i funktionsuttrycket.
  
 +
Derivatan blir &nbsp; <math> y' = 0 \,+\,  \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math> &nbsp; enligt regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_konstant|<strong><span style="color:blue">derivatan av en konstant</span></strong>]].
  
−
'''Sats''':<big>
+
Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <strong><span style="color:red">inte</span></strong> att derivatan av &nbsp; <math> a\cdot f(x) </math> &nbsp; blir &nbsp; <math> 0\cdot f\,'(x) </math> &nbsp; och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se [[2.5_Deriveringsregler#Produkt_och_kvot_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Produkt och kvot av funktioner</span></strong>]].
−
::::En polynomfunktion deriveras termvis, dvs:
+
  
−
::::::Om <math> f(x)    =  a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a </math>
+
Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:
  
−
::::::då <math> f\,'(x) =  n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 </math>
+
'''Regel:'''
−
</big>
+
<div class="border-div2"><big>
 +
<b>Derivatan av en additiv konstant är <math> 0\, </math>.</b>
  
 +
Om <math> {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} </math>
  
−
'''Exempel''':
+
då <math> {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) </math>.
 +
</big></div>
  
−
För polynomfunktionen <math> f(x) = {1 \over 2}\,x^4\,+\,{5 \over 6}\,x^3\,-\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 </math> blir derivatan:
 
  
−
:::::<math> f\,'(x) \, = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x + 12 = 2\,x^3 + {5 \over 2}\,x^2 - 1,6\,x + 12 </math>
+
'''Exempel:'''
  
−
== Derivatan av en summa av funktioner ==
+
För funktionen <math> {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} </math> blir derivatan:
  
−
Vi deriverade polynom termvis dvs genom att först derivera dess termer isolerade och sedan sätta ihop de deriverade termerna. Att detta var tillåtet beror på följande generell sats för derivering av en summa av funktioner som vi anger utan bevis:
+
:::::<math> {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} </math>
  
−
'''Sats''':<big>
+
Här har vi använt resultatet från [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_potensfunktion|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en potens, Exempel 2</span></strong>]], nämligen:
−
::::En summa av funktioner deriveras termvis eller:
+
  
−
::::Derivatan av en summa är summan av termernas derivator, dvs:
+
:::Derivatan av &nbsp; <math> y = \displaystyle {1 \over x} </math> &nbsp; är &nbsp; <math> y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
  
−
::::::Om <math> y    =  f(x) + g(x)\, </math>
 
  
−
::::::då <math> y\,'  = f\,'(x) + g\,'(x) </math>
+
== Produkt och kvot av funktioner ==
−
</big>
+
  
−
'''Exempel''':
+
Regeln om [[2.5_Deriveringsregler#Derivatan_av_en_summa_av_funktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av en summa av funktioner</span></strong>]] säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
  
−
För funktionen <math> y = {1\over x} + \sqrt{x} </math> blir derivatan:
+
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:
 +
 +
'''1)''' &nbsp; En <strong><span style="color:red">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:red">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
  
−
:::<math> y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} </math>
+
:'''Exempel:'''
  
−
Regeln kan utvidgas till summor av fler än två termer och gäller för summor med ändligt antal termer där termerna kan vara godtyckliga funktioner.
+
:::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
  
−
== Derivatan av en funktion med en konstant faktor ==
+
:::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
  
−
Vi deriverade en potens med en konstant faktor dvs <math> a\cdot x\,^n </math> genom att derivera potensen och låta konstanten <math> a\, </math> stå kvar i derivatan. Kan denna regel generaliseras till alla funktioner med en konstant faktor dvs <math> a\cdot f(x) </math> ? Svaret är ja:
+
:'''Rätt:'''
 +
 +
:::<math> y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} </math>  
  
−
'''Sats''':<big>
+
:::<math> y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
−
::::::Om <math> y     = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} </math>
+
  
−
::::::då <math> y\,' =  a\cdot f\,'(x) </math>
+
'''2)''' &nbsp; Inte heller en <strong><span style="color:red">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.
−
</big>
+
  
−
'''Exempel''':
+
:'''Exempel:'''
 +
 
 +
:::<math> y \,=\, \displaystyle {1 \over x} </math>
 +
 
 +
:::<math> y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 </math>
  
−
För funktionen <math> y = 6\cdot \sqrt{x} </math> blir derivatan:
+
:'''Rätt:'''
  
−
:::<math> y\,' \, = 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} </math>
+
:::<math> y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} </math>
  
 +
Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. <strong><span style="color:red">produkt-</span></strong> resp. <strong><span style="color:red">kvotregeln</span></strong>. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.
  
−
'''OBS!''' Att derivatan av en konstant är <math> 0\, </math> innebär <u>inte</u> att derivatan av <math> a\cdot f(x) </math> blir <math> 0\cdot f\,'(x) </math> och därmed <math> 0\, </math>. Det finns ingen regel som säger att derivatan av en produkt är produkten av faktorernas derivator. Regeln för derivatan av en konstant är: Derivatan av en "ensam" konstant är <math> 0\, </math>. Förekommer konstanten däremot i ett uttryck måste regeln preciseras : Derivatan av en s.k. <u>additiv</u> konstant är <math> 0\, </math>, dvs derivatan av <math> a + f(x)\, </math> blir <math> 0 + f\,'(x) </math> och därmed <math> f\,'(x) </math>.
 
  
 
== Tabell över deriveringsregler ==
 
== Tabell över deriveringsregler ==
  
−
I följande tabell är <math> k,\,m,\,n </math> konstanter, medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler.
+
Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där <math> c,\,a,\,k,\,m,\,n </math> är konstanter medan <math> x\, </math> och <math> y\, </math> är variabler:
  
 
:::::{| class="wikitable"
 
:::::{| class="wikitable"
Rad 287: Rad 294:
 
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>  
 
! <math> y\, </math> || <math> y\,' </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> k\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math>  
+
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math>  
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> k\; x </math> ||align=center| <math> k\, </math>
+
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
 
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
Rad 297: Rad 304:
 
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
 
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> k\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,k\,x </math>  
+
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math>  
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math>  
 
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> k\,x\,^n </math> ||align=center| <math> k\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math>  
+
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> {1 \over x} </math> ||align=center| <math> - {1 \over x^2} </math>  
+
| align=center| <math> \displaystyle {1 \over x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle - {1 \over x^2} </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>  
+
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>  
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>  
 
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> k\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> k\cdot f\,'(x) </math>  
+
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>  
 
|}
 
|}
  
−
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Vi kommer att komplettera denna tabell så fort vi lärt oss fler deriveringsregler.
+
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner <math> f(x)\, </math> och <math> g(x)\, </math>. Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.  
  
−
== Se upp ==
+
Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om [[2.6 Derivatan av exponentialfunktioner|<strong><span style="color:blue">Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]].
  
−
Nästsista deriveringsregeln i tabellen visar: En summa av funktioner kan deriveras termvis.
 
  
−
Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller för en produkt:
 
−
 
−
'''1)''' En <strong><span style="color:blue">produkt</span></strong> av funktioner kan <strong><span style="color:blue">inte</span></strong> deriveras faktorvis.
 
  
−
'''Exempel''':
 
  
−
::<math> y = x \cdot \sqrt x </math>
+
== Internetlänkar ==
 +
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
  
−
::<math> y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} </math>
+
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
  
  
−
'''Rätt''':
 
−
 
−
::<math> y = x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} = x\,^{1 + {1 \over 2}} = x\,^{3 \over 2} </math>
 
  
−
::<math> y\,' = {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} = {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} = {3 \over 2}\cdot \sqrt x </math>
 
  
−
'''2)''' Inte heller en <strong><span style="color:blue">kvot</span></strong> av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig. Ex.: Se deriveringsregeln för <math> 1 \over x </math> i tabellen ovan.
 
  
−
== Internetlänkar ==
 
−
http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw
 
−
 
−
http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related
 
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 10 november 2014 kl. 12.57

       <-- Förra avsnitt          Teori          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt -->      


Lektion 19 Deriveringsregler I

Lektion 20 Deriveringsregler II


Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis behandlas i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant

Regel:

Derivatan av en konstant är 0.

Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).


Exempel:

För funktionen \( {\color{White} x} f(x) = -5 {\color{White} x} \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en linjär funktion

Regel:

Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; k \)


Exempel:

För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = -8 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en kvadratisk funktion

Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.

Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)

då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)


  • Exempel 1:
För funktionen \( f(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = 10\,x - 3 \]
  • Exempel 2:
För funktionen   \( f(x) = -25\,x^2 + 16\,x - 90\) blir derivatan:
\[ f\,'(x) \, = 2\cdot (-25)\,x + 16 = - 50\,x + 16 \]

Bevis:    Se här.


Derivatan av en potensfunktion

Regel:

Derivatan av en potensfunktion är en annan potensfunktion med en grad lägre.

Om \( f(x) \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1} \)

Denna regel gäller för ALLA exponenter \( {\color{Red} n} \), dvs inte bara för positiva utan även för negativa heltalsexponenter och t.o.m. för bråktal i exponenten.

Konstanten \( {\color{Red} a} \) tas oförändrad över till derivatan. Regeln om att derivatan av en konstant är \( 0\, \) får ingen tillämpning här, därför att konstanten \( a\, \) inte står ensam utan bildar i kombination med potensen \( x\,^n \) produkten \( a \cdot x\,^n \). Konstanten \( a\, \) står som en faktor framför potensen, se regeln för derivatan av en funktion med en konstant faktor.

Exempel:

För funktionen \( f(x) = 12\,x^4\, \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3 \]

Specialfall     \( a \,=\, \)\( 1\, \)     ger oss följande regel som kan anses som den viktigaste formel för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel:


Derivatan av en potens:

Om \( f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.} \)

då \( f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1} \)


  • Exempel 1     \( n \,=\, \) positivt heltal:
För funktionen \( f(x) = x^5\, \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = 5\,x^4 \]
  • Exempel 2     \( n \,=\, \) negativt heltal:
Derivera funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \displaystyle {1 \over x} \) till en potens:
\[ f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \]
Därmed är \( \,n = -1 \) och vi kan sätta in \( \, n = -1 \) i regeln för derivatan av en potens och får:
\[ f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = - \, {1 \over x^2} \]
  • Exempel 3     \( n \,=\, \) bråktal:
Derivera funktionen \( f(x) = \sqrt{x} \) med hjälp av regeln för derivatan av en potens.
Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla \( \sqrt{x} \) till en potens:
\[ f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \]
Därmed är \( n = {1 \over 2} \) och vi kan sätta in \( n = {1 \over 2} \) i regeln för derivatan av en potens och får:
\[ f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Eftersom beviset av regeln för derivatan av en potens kräver att man utvecklar uttrycket \( (x\,+\,h)\,^n \) för alla rationella tal \( n\, \) kan vi inte genomföra beviset, eftersom våra matematiska kunskaper inte räcker till för det.


Derivatan av en summa av funktioner

Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis:

Om \( y = f(x) + g(x)\, \)
då \( y\,' = f\,'(x) + g\,'(x) \)


Exempel 1:

För funktionen \( \displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}} \]

Här har vi använt de resultat vi fick i Exempel 2 och 3 från regeln för derivatan av en potens, nämligen att:

Derivatan av   \( f(x) = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)   och
Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).

Regeln ovan kan användas för att derivera polynom termvis.

Exempel 2:

För polynomfunktionen \( f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17 \]

Se även Derivatan av ett polynom.


Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om \( y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.} \)
då \( y\,' = a\cdot f\,'(x) \)


Exempel:

För funktionen \( y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \) blir derivatan:

\[ y\,' \, = \,\, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}} \]

Även här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 3, nämligen:

Derivatan av   \( f(x) = \sqrt{x} \)   är \(   f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \).


Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen     \( y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \)   en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}} \)   enligt regeln om derivatan av en funktion med en konstant faktor.

I funktionen     \( y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x} \)   är   \( \, 6 \) en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir   \( y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}} \)   enligt regeln om derivatan av en konstant.

Att derivatan av en konstant är \( 0\, \) innebär inte att derivatan av   \( a\cdot f(x) \)   blir   \( 0\cdot f\,'(x) \)   och därmed \( 0\, \). Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln för derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är \( 0\, \). Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:

Regel:

Derivatan av en additiv konstant är \( 0\, \).

Om \( {\color{White} x} y = c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)

då \( {\color{White} x} y' = 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x) \).


Exempel:

För funktionen \( {\color{White} x} f(x) = -5 + \displaystyle {1\over x} {\color{White} x} \) blir derivatan:

\[ {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2} \]

Här har vi använt resultatet från Derivatan av en potens, Exempel 2, nämligen:

Derivatan av   \( y = \displaystyle {1 \over x} \)   är   \( y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2} \)


Produkt och kvot av funktioner

Regeln om Derivatan av en summa av funktioner säger: En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Av detta får man inte dra slutsatsen att samma sak gäller varken för en produkt eller en kvot av funktioner:

1)   En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.

Exempel:
\[ y = x \cdot \sqrt x \]
\[ y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \]
Rätt:
\[ y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2} \]
\[ y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x \]

2)   Inte heller en kvot av funktioner kan deriveras täljaren för och nämnaren för sig.

Exempel:
\[ y \,=\, \displaystyle {1 \over x} \]
\[ y\,' \,\neq\, {0 \over 1} \,=\, 0 \]
Rätt:
\[ y\,' \,=\, \displaystyle - \, {1 \over x^2} \]

Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.


Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där \( c,\,a,\,k,\,m,\,n \) är konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:

\( y\, \) \( y\,' \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.



Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=vzYS8OEnngw

http://www.youtube.com/watch?v=hYKiTPB7jnQ&feature=related




Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=2.5_Deriveringsregler&oldid=17293"