Skillnad mellan versioner av "2.7 Övningar till Numerisk derivering"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(21 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 5: Rad 5:
 
{{Not selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Teori]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.7 Numerisk derivering|Teori]]}}
 
{{Selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
 
{{Selected tab|[[2.7 Övningar till Numerisk derivering|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Media: Diagnosprov Ma3c kap 2.pdf|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
+
{{Not selected tab|[[Diagnosprov kap 2 Derivata|Diagnosprov kap 2 Derivatan]]}}
−
{{Not selected tab|[[Media: Lösningar Diagnos Ma3c kap 2.pdf|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
+
{{Not selected tab|[[Lösningar till diagnosprov kap 2 Derivata|Lösningar till diagnosprov kap 2]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
Rad 30: Rad 30:
 
Beräkna <math> f\,'(0,6) </math> dvs funktionens derivata i <math> x = 0,6\, </math> med:
 
Beräkna <math> f\,'(0,6) </math> dvs funktionens derivata i <math> x = 0,6\, </math> med:
  
−
a) framåtdifferenskvoten
+
a) &nbsp;&nbsp; framåtdifferenskvoten
  
−
b) bakåtdifferenskvoten
+
b) &nbsp;&nbsp; bakåtdifferenskvoten
  
−
c) centrala differenskvoten
+
c) &nbsp;&nbsp; centrala differenskvoten
  
 
Ange svaren avrundade till 4 decimaler.
 
Ange svaren avrundade till 4 decimaler.
Rad 48: Rad 48:
 
Beräkna med 6 decimalers noggrannhet <math> f\,'(1,8) </math> med framåtdifferenskvoten och steglängden
 
Beräkna med 6 decimalers noggrannhet <math> f\,'(1,8) </math> med framåtdifferenskvoten och steglängden
  
−
a) <math> h = 0,1\, </math>
+
a) <math> {\color{White} x} h = 0,1\, </math>
  
−
b) <math> h = 0,01\, </math>
+
b) <math> {\color{White} x} h = 0,01\, </math>
  
−
c) <math> h = 0,001\, </math>
+
c) <math> {\color{White} x} h = 0,001\, </math>
  
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.6 Svar 2a|Lösning 2a|2.6 Lösning 2a|Svar 2b|2.6 Svar 2b|Lösning 2b|2.6 Lösning 2b|Svar 2c|2.6 Svar 2c|Lösning 2c|2.6 Lösning 2c}}
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.6 Svar 2a|Lösning 2a|2.6 Lösning 2a|Svar 2b|2.6 Svar 2b|Lösning 2b|2.6 Lösning 2b|Svar 2c|2.6 Svar 2c|Lösning 2c|2.6 Lösning 2c}}
Rad 64: Rad 64:
 
Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är <math> f\,'(1,8) = 0,555\,556 </math>.
 
Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är <math> f\,'(1,8) = 0,555\,556 </math>.
  
−
Ett närmevärdes fel definieras som:
+
Använd definitionen till närmevärdets fel i [[2.7_Numerisk_derivering#Exempel_f.C3.B6r_bak.C3.A5tdifferenskvoten|<strong><span style="color:blue">Exempel för bakåtdifferenskvoten</span></strong>]] för att genomföra följande uppgifter:
  
−
::<big>Felet <math> \, = \, </math> exakta värdet <math> \, - \, </math> närmevärdet</big>
+
a) &nbsp;&nbsp; Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden <math> h = 0,01\, </math>.
  
−
a) Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden <math> h = 0,01\, </math>.
+
: &nbsp; Approximera <math> f\,'(1,8) </math> med steglängden <math> h = 0,01\, </math> och
  
−
Approximera <math> f\,'(1,8) </math> med steglängden <math> h = 0,01\, </math> och
+
b) &nbsp;&nbsp; bakåtdifferenskvoten samt ange felet,
  
−
b) bakåtdifferenskvoten samt ange felet,
+
c) &nbsp;&nbsp; centrala differenskvoten samt ange felet.
  
−
c) centrala differenskvoten samt ange felet.
+
d) &nbsp;&nbsp; Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot approximerar <math> f\,'(1,8) </math> bäst?
−
 
+
−
d) Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot approximerar <math> f\,'(1,8) </math> bäst?
+
  
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c|Svar 3d|2.6 Svar 3d}}
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 3a|2.6 Svar 3a|Lösning 3a|2.6 Lösning 3a|Svar 3b|2.6 Svar 3b|Lösning 3b|2.6 Lösning 3b|Svar 3c|2.6 Svar 3c|Lösning 3c|2.6 Lösning 3c|Svar 3d|2.6 Svar 3d}}
Rad 84: Rad 82:
 
== Övning 4 ==
 
== Övning 4 ==
 
<div class="ovning">
 
<div class="ovning">
−
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 enligt följande tabell:
+
Sveriges befolkning växte mellan åren <math> 1900 </math> och <math> 2000 </math> enligt följande tabell:
  
 
:::{| class="wikitable"
 
:::{| class="wikitable"
Rad 113: Rad 111:
 
|}
 
|}
  
−
Tabellen ovan definierar en funktion
+
Tabellen ovan definierar en funktion <math> {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} </math> där:
−
 
+
−
::<math> y \, = \, f(x) </math>
+
−
 
+
−
där
+
  
 
::<math> x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} </math>
 
::<math> x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} </math>
Rad 125: Rad 119:
 
Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år  
 
Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år  
  
−
a) <math> 1900\, </math>
+
a) <math> {\color{White} x} 1900\, </math>
  
−
b) <math> 1950\, </math>
+
b) <math> {\color{White} x} 1950\, </math>
  
−
c) <math> 2000\, </math>
+
c) <math> {\color{White} x} 2000\, </math>
  
−
Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot och steglängd.
+
Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.
  
−
Tolka resultatet.
+
d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren <math> 1900-2000 </math> (hela tabellen).
−
 
+
−
d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under de senaste 100 åren dvs i tidsintervallet 1900-2000 (hela tabellen).
+
  
 
Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen <math> f(x)\, </math>?
 
Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen <math> f(x)\, </math>?
  
−
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.6 Svar 4a|Lösning 4a|2.6 Lösning 4a|Svar 4b|2.6 Svar 4b|Lösning 4b|2.6 Lösning 4b|Svar 4c|2.6 Svar 4c|Lösning 4c|2.6 Lösning 4c|Svar 4d|2.6 Svar 4d|Lösning 4d|2.6 Lösning 4d}}
+
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.6 Svar 4a|Lösning 4a|2.6 Lösning 4a|Svar 4b|2.6 Svar 4b|Lösning 4b|2.6 Lösning 4b|Svar 4c|2.6 Svar 4c|Lösning 4c|2.6 Lösning 4c|Svar 4d|2.6 Svar 4d}}
 
<!-- Alternativt:
 
<!-- Alternativt:
−
:<small><small>[[2.6 Svar 4a|Svar 4a]] | [[2.6 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[2.6 Svar 4b|Svar 4b]] | [[2.6 Lösning 4b|Lösning 4b]] | [[2.6 Svar 4c|Svar 4c]] | [[2.6 Lösning 4c|Lösning 4c]] | [[2.6 Svar 4d|Svar 4d]] | [[2.6 Lösning 4d|Lösning 4d]] </small></small> -->
+
:<small><small>[[2.6 Svar 4a|Svar 4a]] | [[2.6 Lösning 4a|Lösning 4a]] | [[2.6 Svar 4b|Svar 4b]] | [[2.6 Lösning 4b|Lösning 4b]] | [[2.6 Svar 4c|Svar 4c]] | [[2.6 Lösning 4c|Lösning 4c]] | [[2.6 Svar 4d|Svar 4d]] </small></small> -->
−
 
+
  
−
<Big><Big><Big><span style="color:blue">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>
 
  
 +
<Big><Big><Big><span style="color:blue">C-övning: 5</span></Big></Big></Big>
  
 
== Övning 5 ==
 
== Övning 5 ==
Rad 151: Rad 142:
 
Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen
 
Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen
  
−
::<math> y \, = \, f(x) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-x}} </math>
+
::<math> N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} </math>
  
 
där
 
där
  
−
:::<math> x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
+
:::<math> t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
  
−
:::<math> y \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} </math>
+
:::<math> N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} </math>
  
−
a) Kan <math> f(x)\, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
+
a) &nbsp;&nbsp; Kan <math> N(t)\, </math> deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?
  
−
b) Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.
+
b) &nbsp;&nbsp; Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.
  
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 5a|2.6 Svar 5a|Lösning 5a|2.6 Lösning 5a|Svar 5b|2.6 Svar 5b|Lösning 5b|2.6 Lösning 5b}}
Rad 167: Rad 158:
 
:<small><small>[[2.6 Svar 5a|Svar 5a]] | [[2.6 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[2.6 Svar 5b|Svar 5b]] | [[2.6 Lösning 5b|Lösning 5b]]</small></small> -->
 
:<small><small>[[2.6 Svar 5a|Svar 5a]] | [[2.6 Lösning 5a|Lösning 5a]] | [[2.6 Svar 5b|Svar 5b]] | [[2.6 Lösning 5b|Lösning 5b]]</small></small> -->
  
 +
 +
<!-- OBS! Alla följande övningar finns redan i Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet:
 
== Övning 6 ==
 
== Övning 6 ==
 
<div class="ovning">
 
<div class="ovning">
Rad 210: Rad 203:
  
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.2 Svar 6a|Lösning 6a|2.2 Lösning 6a|Svar 6b|2.2 Svar 6b|Lösning 6b|2.2 Lösning 6b|Svar 6c|2.2 Svar 6c|Lösning 6c|2.2 Lösning 6c}}
 
</div>{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.2 Svar 6a|Lösning 6a|2.2 Lösning 6a|Svar 6b|2.2 Svar 6b|Lösning 6b|2.2 Lösning 6b|Svar 6c|2.2 Svar 6c|Lösning 6c|2.2 Lösning 6c}}
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.2 Svar 6a|Svar 6a]] | [[2.2 Lösning 6a|Lösning 6a]] | [[2.2 Svar 6b|Svar 6b]] | [[2.2 Lösning 6b|Lösning 6b]] | [[2.2 Svar 6c|Svar 6c]] | [[2.2 Lösning 6c|Lösning 6c]]</small></small> -->
 
  
  
Rad 230: Rad 221:
  
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.6 Svar 7|Lösning 7|2.6 Lösning 7}}
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 7|2.6 Svar 7|Lösning 7|2.6 Lösning 7}}
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.6 Svar 7|Svar 7]] | [[2.6 Lösning 7|Lösning 7]]</small></small> -->
 
  
 
== Övning 8 ==
 
== Övning 8 ==
Rad 239: Rad 228:
 
::<math> y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math>
 
::<math> y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math>
  
−
a) Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan <math> x\, </math> och <math> x + h\, </math>. Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
+
a) &nbsp;&nbsp; Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan <math> x\, </math> och <math> x + h\, </math>. Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
  
−
b) Låt i uttrycket från a) gå <math> h\, </math> mot 0 så att du får ett uttryck endast i <math> x\, </math>.
+
b) &nbsp;&nbsp; Låt i uttrycket från a) gå <math> h\, </math> mot 0 så att du får ett uttryck endast i <math> x\, </math>.
  
−
c) Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för <math> x = 2\, </math>. Tolka ditt resultat.
+
c) &nbsp;&nbsp; Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för <math> x = 2\, </math>. Tolka ditt resultat.
  
−
d) Ställ upp ekvationen till tangenten till kurvan <math> y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math> i punkten <math> x = 2\, </math>.
+
d) &nbsp;&nbsp; Ställ upp ekvationen till tangenten till kurvan <math> y = 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math> i punkten <math> x = 2\, </math>.
  
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.6 Svar 8a|Lösning 8a|2.6 Lösning 8a|Svar 8b|2.6 Svar 8b|Lösning 8b|2.6 Lösning 8b|Svar 8c|2.6 Svar 8c|Lösning 8c|2.6 Lösning 8c|Svar 8d|2.6 Svar 8d|Lösning 8d|2.6 Lösning 8d}}
 
</div> {{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.6 Svar 8a|Lösning 8a|2.6 Lösning 8a|Svar 8b|2.6 Svar 8b|Lösning 8b|2.6 Lösning 8b|Svar 8c|2.6 Svar 8c|Lösning 8c|2.6 Lösning 8c|Svar 8d|2.6 Svar 8d|Lösning 8d|2.6 Lösning 8d}}
−
<!-- Alternativt:
 
−
:<small><small>[[2.6 Svar 8a|Svar 8a]] | [[2.6 Lösning 8a|Lösning 8a]] | [[2.6 Svar 8b|Svar 8b]] | [[2.6 Lösning 8b|Lösning 8b]] | [[2.6 Svar 8c|Svar 8c]] | [[2.6 Lösning 8c|Lösning 8c]] | [[2.6 Svar 8d|Svar 8d]] | [[2.6 Lösning 8d|Lösning 8d]]</small></small> -->
 
  
  
 +
<!--
 
<Big><Big><Big><span style="color:blue">Facit</span></Big></Big></Big>
 
<Big><Big><Big><span style="color:blue">Facit</span></Big></Big></Big>
  
Rad 307: Rad 295:
  
 
<Big> Nej. </Big>
 
<Big> Nej. </Big>
 +
-->
  
  

Nuvarande version från 8 februari 2015 kl. 15.18

       <-- Förra avsnitt          Teori          Övningar          Diagnosprov kap 2 Derivatan          Lösningar till diagnosprov kap 2      


E-övningar: 1-4


Övning 1

Följande funktion \( f(x)\, \) är definierad i tabellform:

\( x\, \) \( f(x)\, \)
\( 0,5\, \) \( 1,79744\, \)
\( 0,6\, \) \( 2,04424\, \)
\( 0,7\, \) \( 2,32751\, \)

Beräkna \( f\,'(0,6) \) dvs funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) med:

a)    framåtdifferenskvoten

b)    bakåtdifferenskvoten

c)    centrala differenskvoten

Ange svaren avrundade till 4 decimaler.

Svar 1a
2.6 Svar 1a
Lösning 1a
2.6 Lösning 1a
Svar 1b
2.6 Svar 1b
Lösning 1b
2.6 Lösning 1b
Svar 1c
2.6 Svar 1c
Lösning 1c
2.6 Lösning 1c

Övning 2

Funktionen \( f(x) = \ln x\, \) är given.

Beräkna med 6 decimalers noggrannhet \( f\,'(1,8) \) med framåtdifferenskvoten och steglängden

a) \( {\color{White} x} h = 0,1\, \)

b) \( {\color{White} x} h = 0,01\, \)

c) \( {\color{White} x} h = 0,001\, \)

Svar 2a
2.6 Svar 2a
Lösning 2a
2.6 Lösning 2a
Svar 2b
2.6 Svar 2b
Lösning 2b
2.6 Lösning 2b
Svar 2c
2.6 Svar 2c
Lösning 2c
2.6 Lösning 2c

Övning 3

I övning 2 ovan beräknades tre närmevärden till derivatan av funktionen \( f(x) = \ln x\, \) i \( x = 1,8\, \) med framåtdifferenskvoten.

Derivatans exakta värde avrundat till 6 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,555\,556 \).

Använd definitionen till närmevärdets fel i Exempel för bakåtdifferenskvoten för att genomföra följande uppgifter:

a)    Ange felet till det närmevärde som i övning 2 b) beräknades med steglängden \( h = 0,01\, \).

  Approximera \( f\,'(1,8) \) med steglängden \( h = 0,01\, \) och

b)    bakåtdifferenskvoten samt ange felet,

c)    centrala differenskvoten samt ange felet.

d)    Jamför de tre differenskvoternas fel med varandra. Vilken differenskvot approximerar \( f\,'(1,8) \) bäst?

Svar 3a
2.6 Svar 3a
Lösning 3a
2.6 Lösning 3a
Svar 3b
2.6 Svar 3b
Lösning 3b
2.6 Lösning 3b
Svar 3c
2.6 Svar 3c
Lösning 3c
2.6 Lösning 3c
Svar 3d
2.6 Svar 3d

Övning 4

Sveriges befolkning växte mellan åren \( 1900 \) och \( 2000 \) enligt följande tabell:

År Folkmängd i tusental
\( 1900\, \) \( 5\,130 \)
\( 1910\, \) \( 5\,406 \)
\( 1920\, \) \( 5\,832 \)
\( 1930\, \) \( 6\,298 \)
\( 1940\, \) \( 6\,645 \)
\( 1950\, \) \( 7\,016 \)
\( 1960\, \) \( 7\,495 \)
\( 1970\, \) \( 8\,126 \)
\( 1980\, \) \( 8\,217 \)
\( 1990\, \) \( 8\,654 \)
\( 2000\, \) \( 8\,983 \)

Tabellen ovan definierar en funktion \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) där:

\[ x =\, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} \]
\[ y =\, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;tusental} \]

Beräkna tillväxthastigheten av Sveriges befolkning år

a) \( {\color{White} x} 1900\, \)

b) \( {\color{White} x} 1950\, \)

c) \( {\color{White} x} 2000\, \)

Välj till varje deluppgift lämplig differenskvot. Tolka resultatet.

d) Beräkna medelvärdet av resultaten i a)-c) och jämför det med den genomsnittliga tillväxthastigheten av Sveriges befolkning under åren \( 1900-2000 \) (hela tabellen).

Vilken slutsats kan man dra från resultaten i a)-d) om funktionen \( f(x)\, \)?

Svar 4a
2.6 Svar 4a
Lösning 4a
2.6 Lösning 4a
Svar 4b
2.6 Svar 4b
Lösning 4b
2.6 Lösning 4b
Svar 4c
2.6 Svar 4c
Lösning 4c
2.6 Lösning 4c
Svar 4d
2.6 Svar 4d


C-övning: 5

Övning 5

Antalet bakterier i en bakteriekultur följer funktionen

\[ N(t) \, = \, {250 \over 1 + 249\,e\,^{-t}} \]

där

\[ t \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \]
\[ N \, = \, {\rm Antalet\;bakterier} \]

a)    Kan \( N(t)\, \) deriveras med någon av de deriveringsregler vi lärt oss i detta kapitel?

b)    Ange bakteriernas tillväxthastighet efter 7 minuter.

Svar 5a
2.6 Svar 5a
Lösning 5a
2.6 Lösning 5a
Svar 5b
2.6 Svar 5b
Lösning 5b
2.6 Lösning 5b




Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=2.7_Övningar_till_Numerisk_derivering&oldid=21712"